第七章 空间解析几何
一、选择题
1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限
2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面
3.直线3
12
14
1:
1+=+=-z y x l 与??
?=-++=-+-0
201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ]
A. 4
π
B.
3
π
C. 2
π
D. 0
4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+
D. x z y 422±=+
6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13
-
B.
13
C. 23
-
D.
23
7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程
222
2
2
x y z a
b
+
=表示的是 [ B ]
A.椭圆抛物面
B.椭圆锥面
C. 椭球面
D. 球面
9. 已知a
={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ]
A. 3
B.3
1-
C. -1
D.1
10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D
A. 2
2
2
()a b a b =? B. 2
2
2
()a b a b ?=? C. 2
2
()()a b a b ?=? D. 2
2
2
2
()()a b a b a b ?+?=
11．直线1l 的方程为03130290
x y z x y z ++=??
--=?，直线2l 的方程为03031300
x y z x y z ++=??
--=?，则1l 与
2l 的位置关系是 D
A.异面
B.相交
C.平行
D.重合
12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C
A.关于XOZ 平面对称
B.关于YOZ 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C
A.2221x y z ++=
B.221x y z ++=
C.21x y z ++=
D.221x y z ++= 15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C
A.2
a a a = B. 2()a a
b a b ??= C. 2()a b b ab ??= D. 222()a b a b =? 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20
B. C.10
D.17．已知直线l 方程230
3450x y z x y z ++=??++=?
与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系
是C
A. l 在π内
B. l 垂直于π
C. l 平行于π
D.不能确定
18．两向量,a b 所在直线夹角4
π
，0ab <，那么下列说法正确的是 B
A. ,a b 夹角
4
π
B. ,a b 夹角
34
π C. ,a b 夹角可能
34
π或
4
π
D.以上都不对
19.已知||1=a
，||=
b (,)4
π=a
b ，则||+=a b （D ）. (A) 1
(B) 1+ (C) 2
(D)
20.设有直线3210:21030
x y z L x y z +++=??
--+=?及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交
21.双曲线22
145
0x z y ?-=?
??=?
绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.
(A)
22
2
14
5x y z
+-
= (B)
2
22
145
x
y z +-
=
(C)
2
2
()
14
5
x y z
+-
= (D)
2
2
()
14
5
x
y z +-
=
22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）.
(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c -- 23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b a （A ）. (A) 2 (B) 2-
(C)
6
(D) 6-
24.221x y -=在空间表示 （ D ）.
(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面 25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）.
(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件 (C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件 26．设平面方程为0A x C z D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）. (A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴
27． 已知等边三角形A B C ?的边长为1，且BC =a ，CA =b ，AB =c
，则
?+?+?=a b b c c a （
D ）. (A)
12
(B)
32
(C) 12
-
(D) 32
-
28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )
(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1) 29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )
(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C) 平行于YOZ 平面 (D) 垂直于Z 轴 30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)
31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )
(A) ??
?
?
?=-=z y z x 24 (B) ??
?
?
?
=--=-0342x z y
(C) 1
43
22
-=
-=
-z y x
(D) 04)2(32=-+-+-z y x
32．二个平面14
z 3
y 2x =++
和
2x+3y-4z=1位置关系是（ A ） （A ）相交但不垂直 （B ）重合 （C.）平行但不重合
（D.）垂直
33. 过点(2，0，-3)且与直线??
?=+-+=-+-0
12530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A )
(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x (B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x (C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x (D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x
34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的
βcos =( A )
(A)
c b a b
2
22++ (B)
c b a b
++ (C) c b a b
++± (D)
c b a b
2
22++±
35. 已知曲面方程 2
22
2b
y a
x z +
-= （马鞍面），这曲面与平面 h z = 相截，其截痕是空间
中的（ B ）
A. 抛物线；
B. 双曲线；
C. 椭圆；
D. 直线。 36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )
(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2) (C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)
37. 曲线??
?==-0
369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )
(A) ()36942
22=-+y z x (B) ()()
36
9422
22=+-+z y z x
(C) (
)
369422
2=+-z y x (D) 36
942
2=-y x
38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )
(A) 02
2=+y x (B) 42
2
=+y x
(C) 0422=++y x (D)
422
2=++z y x 39. 球面k z y x 22
2
2=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是(
D )
(A) ()k
z y z a 22
22=++- (B) ()?????==++-02
222z k z y z a
(C)
()
k x a y x 22
2
2
=-++ (D) ()??
?==-++0
2
222z k x a y x
40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A ) (A) α·β=0 (B) α×β=0
(C) B A B A B A z
z y
y x
x
== (D) α-β=0
二、填空题
1. ,7,4,3=+==b a b a 则 =-b a
1
2. 有曲面方程
z q
y
p
x
22
2
=+
，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面
3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0
16
2222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y
4. 已知a
,b
,c 都是单位向量，且满足a
+b
+c
=0, 则=?+?+?a c c b b a
2
3-
5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转，所得曲面方程为 422
x y z =+
6．已知向量(1,2,3)O A = ，向量(2,3,4)O B =
，那么三角形O A B 的面积是
2
7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=，则其夹角为
arccos
33
8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522(,,)333
-
9.设有直线1158:
1
2
1
x y z L --+=
=
-与26:23
x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为3π
10．已知||2=a ，||2=b ， 3
(,)π
=a
b ，则23=-u a b 的模||=u
11. 已知向量 k j i a ++=23 与 j i b 32-=，则 =?)3()2(b a 0 ； =?b a
3213i j k +-
12、平面x+2y-z+3=0和空间直线
1
21
13
1-=
-+=
-z y x 的位置关系是 直线在平面上
13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ，此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7 三：计算与证明
1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线
1
2
35
4z y x =+=-的平面方程
解：设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s
, 由已知，
)2,4,1(-=MN 是所求平面内的向量
又设所求平面的法向量是n ，取s MN n
?=，
即： k j i k
j i n
22981
2
5
241++-=-=
故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即：－8x+9y+22z+59=0 2.求与直线1L ：
1
3523z y x =-=+相交且与直线2L ：
1
4
75
10z y x =
+=
-相交, 与直线
3L ：
1
3
7
18
2-=-=
+z y x 平行的直线方程
解：将1L ，2L 分别化为参数方程：
?????=+=-=t z t y t x 5332， ??
???=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM 则 向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k =（2t-5λ-13）i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k 令向量λM M t 平行于3L ， 即有
1
-t 7
12
+ 4-3t 8
13
- 5-2t λλλ==
解得 t=2
25-
，于是t M （-28，2
65-, 2
25-
）
故 所求直线为：
1225
z 7
265y 8
28x +=
+
=
+
3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :
2
68
25
2-=--=--z y x 相交, 求L 的方程
解：过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0
即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:
x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1 所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点 故: L 的方程为
3
-43-z 6
-106-y 2
-72x ==-
即：
13-z 46-y 5
2x ==-
4．求过直线
12
11
x y z
-==
-，且平行于直线
12
1
2
x y z +=
=
-的平面方程。
解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程20220
a b c a b c +-=??
+-=?
解得020c a b =??+=?
,于是可取法向量(1,2,0)-
所以平面方程为(1)20x y --+=
5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ
解：方程两边同与,a b 作数量积得22
a c a a
b b
c a b b
λμλμ?=+?
?=+?? ，解此两元一次方程组，得
2
2
2
a c a
b b
c b
a
a b a b b
λ=
， 2
2
2
a
ac ab bc a
ab ab
b
μ=
。
6.求直线210
:2220x y z l x y z +++=??--+=?
在平面330x y z --+=上的投影
解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=
其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有
3(2)(2)(2)0λμλμλμ+----=，即470λμ+=
取7,4λμ=-=。直线方程为330
10151510x y z x y z --+=??---+=?
7.求原点到直线2340:23450
x y z l x y z +++=??
+++=?的垂线与垂足，垂线要求参数方程。
解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。
l 的方向：233112(
,,)(1,2,1)3
44
22
3
=--。
π的方程20x y z -+-=
将其与l 方程联立，解得垂足坐标2
14(,,)333-
-
于是垂线参数方程231343x t y t z t ?
=??
?
=-??
?=-?
?
.
8．已知直线一般方程为2340
46510x y z x y z --+=??-+-=?
，求其点向式方程。
解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为
311223
(,,)(21,14,0)
6
5
5
4
46
----=---- 令3400,6510
y z x y z --+=?=?
-+-=?，得直线上一点199
(0,
,)217
故点向式方程为
919
72121
14
z y x --=
=--
9.在直线1
:0
x y z l x z +-=??-=?上求一点A ，使得它与原点所决定的直线与l 的夹角为
a r c c o s 3
解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--
设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)OA x x =
3
=
，解
此方程得1x =±。
故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。
10.证明：直线1213:
3
2
6
x y z l -+-==
-及直线221:2
x y l y z +=??
+=-?共面。
证明：2l 的方向向量2{1,2,0}
{0,1,1}
{2,1,1}(2)=?=-n 分，1l 的方向向量
1{3,
2,6}(2)=-n 分。点12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},A l B l AB =-∈=-∈=--
由于这三
个向量两两不平行，且
123
26()2
110(4)1
1
5
AB -??=-=--n n
分，
所以1l 与2l 共面(因为由上式知2,,AB 1n n
三向量共面)。
证法2：1l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2l 共面。 11.求通过直线1121:
2
1
1
x y z l ++-==-及直线221
:2x y l y z +=??+=-?
的平面方程。
解：2l 的方向向量为21{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1l 与2l 平行(3)分。
点11(1,2,1),M l =--∈且易知22(1,0,2)M l =-∈，2M 不在直线1l 上(2)分。故所求平面就是两相交直线1l 与12M M
确定的平面。它的法向量可取为
1
2
121186(3).2
2
3
M M
=?=-=++-i
j k
n n n i j k 分 又1(1,2,1)M =--为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为 (1)8(2)
6(1)
x y z +++
+-
=，即86110(2)x y z +++=分。 12．已知A B C ?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k
，求A B C ?的面积。
解：11||||(2),22
A B C
S B A B C A B B C ?=?=?
分 而2
1135(2),3
2
1
AB BC ?=-=-+i j k
i j k
分
所以||AB BC ?=
(2)A B C S ?=
分.
13.求直线224x z y z =+??
=-?在平面0x y z +-=上的投影方程。
解：过直线2
24
x z y z =+??
=-?的平面束方程为
:2(24)0(2)x z y z λπλ--+-+=分.
在λπ中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有 {1,,12}{1,1,1}0λλ--?-=分，
即21120,3
λλλ+++==-
。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为
32140(2x y z -+-=分 从而直线在平面上的投影即为
32140
(2)0x y z x y z -+-=??
+-=?
分. 14. 求过直线??
?=---=+-0
9230
42z y x z y x 且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。
解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}
则??
?=--=+-0230
42p n m p n m 有 ???????
==71079n p n m 方向数为{9，7，10}(2分) 又因??
?=+-=++040
1079C B A C B A 有???
????-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，-37}(3分) 直线上有点（0，-1，-4）
平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0
15．求过点(3，1，-2)且过直线
12
35
4
z
y x =
+=
-的平面方程。
取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C} 两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）
有??
?=++=-+0250
64C B A C B A 得???
????=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，22}（2分） 平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0（2分）
16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。
解： 1
12,(3)0(3
)
1
i
j k
n i j x y =-=++=
分所求平面方程为：分