第七章 空间解析几何
一、选择题
1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ]
A. 第一卦限
B. 第二卦限
C. 第三卦限
D. 第四卦限
2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ]
A. 椭圆
B. 圆
C. 椭圆柱面
D. 圆柱面
3.直线312141:
1+=+=-z y x l 与???=-++=-+-0201:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4π B. 3π C. 2
π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]
A. (-1,2,3)
B. (1,-2,3)
C. (-1,-2,3)
D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ]
A. )(42y x z +=
B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+
D. x z y 422±=+
6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 1
3- B. 13 C. 23- D. 23
7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]
A. (-1,2,3)
B. (1,-2,3)
C. (-1,-2,3)
D. (1,2,-3)
8.方程22
222x y z a b
+=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则=b proj a ?ρ[ C ]
A. 3
B.3
1- C. -1 D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D
A. 222()a b a b =?
B. 222
()a b a b ?=?
C. 22()()a b a b ?=?
D. 2222()()a b a b a b ?+?=
11．直线1l 的方程为03130290x y z x y z ++=??--=?，直线2l 的方程为03031300x y z x y z ++=??--=?，则1l 与2l 的位置关系是 D
A.异面
B.相交
C.平行
D.重合
12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C
A.关于XOZ 平面对称
B.关于YOZ 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C
A.关于XOZ 平面对称
B.关于XOY 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C
A.2221x y z ++=
B.221x y z ++=
C.21x y z ++=
D.22
1x y z ++=
15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C
A.2a a a =
B. 2()a a b a b ??=
C. 2()a b b ab ??=
D. 222()a b a b =? 16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B
A.20
B. C.10
D.17．已知直线l 方程2303450
x y z x y z ++=??++=?与平面π方程20x z -++=，那么l 与π的位置关系
是C
A. l 在π内
B. l 垂直于π
C. l 平行于π
D.不能确定
18．两向量,a b 所在直线夹角
4
π，0ab <，那么下列说法正确的是 B A. ,a b 夹角4π B. ,a b 夹角34π C. ,a b 夹角可能34π或4
π D.以上都不对 19.已知||1=a
，||=b ?(,)4π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1
(B) 1+ (C) 2
(D)
20.设有直线3210:21030
x y z L x y z +++=??--+=?及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交
21.双曲线22
1450x z y ?-=???=?
绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A ）.
(A) 222
145x y z +-= (B) 222
145x y z +-= (C) 22
()145x y z +-= (D) 22
()145x y z +-=
22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）.
(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c --
23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b a （A ）.
(A) 2 (B) 2-
(C)
(D)
24.221x y -=在空间表示 （ D ）.
(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面
25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）.
(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件
(C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件
26．设平面方程为0Ax Cz D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）.
(A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴
27． 已知等边三角形ABC ?的边长为1，且BC =a u u u v ，CA =b u u u v ，AB =c u u u v ，
则
?+?+?=a b b c c a （ D ）. (A) 1
2 (B) 3
2 (C) 12- (D) 3
2-
28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )
(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)
29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )
(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴
(C) 平行于YOZ 平面 (D) 垂直于Z 轴
30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D )
(A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)
31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )
(A) ?????=-=z y z x 2
4 (B) ?????
=--=
-03
4
2x z y
(C) 14322
-=-=-z y x (D) 04)2(32=-+-+-z y x 32．二个平面14z 3
y 2x =++和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ） （A ）相交但不垂直
（B ）重合 （C.）平行但不重合 （D.）垂直
33. 过点(2，0，-3)且与直线?
??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A ) (A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x
(B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x
(C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x
(D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x
34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的βcos =( A )
(A) c b a b
222++ (B)c b a b ++ (C)
c b a b ++± (D) c b a b 222++± 35. 已知曲面方程 22
22b
y a x z +-= （马鞍面），这曲面与平面 h z = 相截，其截痕是空间中的（ B ）
A. 抛物线；
B. 双曲线；
C. 椭圆；
D. 直线。
36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )
(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2)
(C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)
37. 曲线???==-0369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )
(A) ()3694222=-+y z x (B)
()()36942222=+-+z y z x (C) ()
3694222=+-z y x (D) 369422=-y x 38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )
(A) 022=+y x (B)
422=+y x
(C) 0422=++y x (D)
4222=++z y x 39. 球面k z y x 2222=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是( D )
(A) ()k z y z a 2222=++- (B) ()?????==++-02
222z k z y z a
(C) ()k x a y x 2222=-++ (D) ()???==-++02
222z k x a y x
40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A )
(A) α·β=0 (B) α×β=0
(C) B A B A B A z z
y y x x == (D) α-β=0
二、填空题 1. ,7,4,3=+==b a b a ρρρρ 则 =-b a ρρ 1
2. 有曲面方程z q
y p x 22
2=+，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面 3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0
162222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y 4. 已知a ?,b ?,c ?都是单位向量，且满足a ?+b ?+c ?=0, 则=?+?+?a c c b b a ??????
2
3- 5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转，所得曲面方程为 422x y z =+ 6．已知向量(1,2,3)OA =u u u r ，向量(2,3,4)OB =u u u r ，那么三角形OAB 的面积是
7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=，则其夹角为
8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522
(,,)333
- 9.设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23
x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为3π 10．已知||2=a ，||2=b ，?3
(,)π
=a b ，则23=-u a b 的模||=u
11. 已知向量 ++=23 与 32-=，则 =?)3()2( 0 ； =? 3213i j k +-r r r
12、平面x+2y-z+3=0和空间直线1
21131-=-+=-z y x 的位置关系是 直线在平面上 13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ，此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7
三：计算与证明
1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线1
2354z y x =+=-的平面方程 解：设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s ρ
, 由已知， )2,4,1(-=是所求平面内的向量
又设所求平面的法向量是n ρ，取s n ρ
ρ?=， 即： k j i k j i n ρρρρρρρ22981
25241++-=-=
故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即：－8x+9y+22z+59=0
2.求与直线1L ：13523z y x =-=+相交且与直线2L ：1
47510z y x =+=-相交, 与直线3L ： 1
37182-=-=+z y x 平行的直线方程 解：将1L ，2L 分别化为参数方程：
?????=+=-=t z t y t x 5332，
??
???=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM
则 向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k
=（2t-5λ-13）i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k
令向量λM M t 平行于3L ， 即有 1
-t 712+ 4-3t 813- 5-2t λλλ==
解得 t=225-
，于是t M （-28，265-, 2
25-） 故 所求直线为：1
225z 7265y 828x +=+=+ 3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :268252-=--=--z y x 相交, 求L 的方程
解：过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0
即: x-2y+3z=0
再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:
x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t
代入上述平面方程得: t=-1
所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点
故: L 的方程为
3-43-z 6-106-y 2-72x ==- 即：1
3-z 46-y 52x ==- 4．求过直线1211x y z -==-，且平行于直线1212
x y z +==-的平面方程。 解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程20220
a b c a b c +-=??+-=? 解得020c a b =??+=?
,于是可取法向量(1,2,0)- 所以平面方程为(1)20x y --+=
5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ
解：方程两边同与,a b 作数量积得22a c a a b b c a b b λμλμ?=+??=+??g g g g
，解此两元一次方程组，得222ac ab
bc
b a ab
ab b λ=， 222a ac ab bc a ab ab b μ=。
6.求直线210:2220x y z l x y z +++=??--+=?
在平面330x y z --+=上的投影 解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=
其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有
3(2)(2)(2)0λμλμλμ+----=，即470λμ+=
取7,4λμ=-=。直线方程为33010151510x y z x y z --+=??---+=?
7.求原点到直线2340:23450
x y z l x y z +++=??+++=?的垂线与垂足，垂线要求参数方程。
解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。 l 的方向：233112(
,,)(1,2,1)344223=--。 π的方程20x y z -+-=
将其与l 方程联立，解得垂足坐标2
14(,,)333
-- 于是垂线参数方程231343x t y t z t ?=???=-???=-??
. 8．已知直线一般方程为234046510x y z x y z --+=??-+-=?
，求其点向式方程。 解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为
311223(,,)(21,14,0)655446
----=---- 令3400,6510
y z x y z --+=?=?-+-=?，得直线上一点199(0,,)217 故点向式方程为91972121140
z y x --==-- 9.在直线1:0x y z l x z +-=??-=?
上求一点A ，使得它与原点所决定的直线与l 的夹角为
解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--
设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)OA x x =u u u r
=此方程得1x =±。
故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。 10.证明：直线1213:326x y z l -+-==-及直线221:2
x y l y z +=??+=-?共面。 证明：2l 的方向向量2{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}(2)=?=-n 分，1l 的方向向量
1{3,2,6}(2)=-n 分。点12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},A l B l AB =-∈=-∈=--u u u v 由于这三
个向量两两不平行，且
12326()2110(4)115
AB -??=-=--n n u u u v 分，
所以1l 与2l 共面(因为由上式知2,,AB 1n n u u u v 三向量共面)。
证法2：1l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2l 共面。
11.求通过直线1121:211x y z l ++-==-及直线221:2x y l y z +=??+=-?
的平面方程。 解：2l 的方向向量为21{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1l 与2l 平行(3)分。
点11(1,2,1),M l =--∈且易知22(1,0,2)M l =-∈，2M 不在直线1l 上(2)分。故所求
平面就是两相交直线1l 与12M M u u u u u u v 确定的平面。它的法向量可取为
12121
186(3).2
23M M =?=-=++-i
j k n n n i j k u u u u u u u v 分 又1(1,2,1)M =--为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为
(1)8(2)6(1)0x y z ++++-=，即86110(2)x y z +++=分。
12． 已知ABC ?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k u u u v u u u v ，求ABC ?的面
积。
解：11||||(2),22
ABC S BA BC AB BC ?=?=?u u u v u u u v u u u v u u u v 分 而21135(2),321
AB BC ?=-=-+i j k i j k u u u v u u u v 分
所以||AB BC ?=u u u v u u u v
(2)ABC S ?=分. 13.求直线224
x z y z =+??=-?在平面0x y z +-=上的投影方程。
解：过直线224x z y z =+??
=-?的平面束方程为 :2(24)0(2)x z y z λπλ--+-+=分.
在λπ中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有
{1,,12}{1,1,1}0(2)λλ--?-=分， 即21120,3
λλλ+++==-。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为 32140(2).x y z -+-=分
从而直线在平面上的投影即为
32140(2)0x y z x y z -+-=??+-=?
分. 14. 求过直线?
??=---=+-0923042z y x z y x 且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。 解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}
则?
??=--=+-023042p n m p n m 有 ???????==71079n p n m 方向数为{9，7，10}(2分) 又因???=+-=++0401079C B A C B A 有???
????-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，-37}(3分) 直线上有点（0，-1，-4）
平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0
15．求过点(3，1，-2)且过直线1235
4z y x =+=-的平面方程。 取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C}
两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）
有?
??=++=-+025064C B A C B A 得???????=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，22}（2分） 平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0（2分）
16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。 解： 112,(3)0(3)001i j k n i j x y =-=++=v v v v v v 分所求平面方程为：分