第 10 讲 综合测试
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题（每小题
5 分，共
40 分）
1、
集合 U
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， S 1, 4 , 5
， T
2 , 3 , 4 ，则 S I eUT
（
）
A ． 1, 4 , 5 , 6
B ． 1, 5
C． 4
D． 1, 2 , 3 , 4 , 5
【解析】 B ．
本小题考查集合的交并补运算．
2、
命题 p ： x
0 ，都有 sin x ≥
1 ，则（
）
A ． p ： x
0 ，使得 sin x
1
B．
p ：
x ≤ 0 ，都有 sin x ≥ 1
C． p ： x
0 ，使得 sin x≥ 1
D．
p ： x≤ 0 ，都有 sinx 1
【解析】 A ．
3、
以下关于奇函数和偶函数的零点的说法，正确是（
）
．奇函数的零点一定为奇数个，偶函数的零点一定为偶数个
．奇函数或者不存在零点，或者存在奇数个零点
C．若偶函数的零点为奇数个，那么 x 0 一定是它的零点 D ．对奇函数而言， x 0 一定是它的零点
【解析】 C．
本小题考查函数的奇偶性与零点．
4、
已知 y log a 2
ax 在 0 , 1
是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（
）
A ． 0 , 1
B． 1 , 2
C． 0 , 2
D． 2 ,
【解析】 B ．
本小题考查基本初等函数及复合函数的单调性．
5、
等差数列
an 满足 3a8 5a13 ，且 a1
0 ， Sn
a1 a2 L an ，则 Sn 中最大的是（
）
A ． S10
B ． S11
C． S20
D． S21
【解析】 C．
本小题考查等差数列的性质．
6、
已知 a 、 x
、 b 成等差数列， a 、 y 、 b 成等比数列，则以下判断正确的是（
）
A ． x ≥ y
B．若 a b ，则 x y
C． x ≥ y
D．若 a b ，则 x y
【解析】 D ．
本小题综合考查等差中项、等比中项、均值不等式．
2
7、
已知直线 l1
、l2 是双曲线 x2
y
1
的两条渐近线， P 是双曲线上一点， 过 P 作 l1 、l 2 的垂线，
uuur
uuur3
垂足分别为 A 、 B ，则 PA
PB
（
）
A ． 3
B． 3
C．
3
D．
3
4
8
4
8
【解析】 B ．
本小题考查双曲线的基本量．
8、
已知圆的方程为 x2
y2
6 x 8 y
0 ．设该圆过点
3 , 5
的最长弦和最短弦分别为
AC 、 BD ，
则四边形 ABCD 的面积是（
）
A ． 10 6
B ． 20 6
C． 30 6
D． 40 6
【解析】 B ．
本小题考查直线与圆中弦长的计算．
二、填空题（每小题
5 分，共 30 分）
9、
等比数列
an 的前 n 项之和为 Sn ，若 S10
10 ， S30
70
，则 S40
．
【解析】 150．
本小题考查等比数列的性质．
10、
关于 x 的不等式 x
2
的解集为
1 , 4 ，则 2a b
．
ax b 0
【解析】 14 ．
本小题考查解一元二次不等式．
11、
直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1
、 k2 ，则“ k1
k2 ”是“ l1 ∥ l 2 ”的
条件；“ k1 k2
1 ”
是“ l1
l2 ”的
条件．
【解析】 必要不充分，充要．
x
2
, x
1
12、
设函数 f
1
f (m)
1 成立的 m 值所组成的集合中的元素个数为
x
，则使得
4
x
1 , x≥ 1
____ ．
【解析】 3．
13、
如图，在等腰梯形
ABCD 中， AB∥ CD ，且 AB
2AD ．设 DAB
，
0 , π ，以 A 、
2
B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为
e1 ，以 C 、 D 为焦点且过点
A 的椭圆的离心率为
e2 ，
则 ee12
D
C
θ
A
B
【解析】 1 ．
本小题考查圆锥曲线的基本量．
14
设 f
式 f
x 是定义在 x a ≥ 2 f
R 上的奇函数，且当 x 恒成立，则实数
x≥ 0 时， f
a 的取值范围是
x
x2 ．若对任意的
．
x
a , a
2 ，不等
【解析】
2 ,
．
本小题综合考查函数的奇偶性与单调性．
三、解答题
15、
（本小题共
12 分）
n2 ．数列 { bn } 为等比数列，且 b1
已知数列 {
an} 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn
1 ， b4 8 ．
⑴ 求数列
{ an } ， { bn} 的通项公式；
⑵ 若数列
{ cn } 满足 cn abn
，求数列 { cn } 的前 n 项和 Tn ．
【解析】 ⑴ an 2n
1 ， (n N*) ．
bn 2n 1
(n
N*) ．
Tn 2n 1 2 n ．
16、
（本小题共
14 分）
已知 m
R
，直线 l ： mx
m2
1 y
4m 和圆 C ： x2
y2
8 x
4y 16
0 ．
⑴
求直线 l
斜率的取值范围；
⑵
求证：直线 l 恒过定点；
⑶
直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧？为什么？
2
【解析】 ⑴
1
,
1
；
2
2
⑵
直线
l
的方程可以整理为：
ym2
(4
x) m
y 0 ，
当 y
0 且 x 4 时，上面的不等式对所有的
m 恒成立，即直线
l 恒过点 P 4 , 0 ．
⑶
圆的标准方程为
2
y
2
4
．
x 4
2
法一：
如图，当直线 l
的斜率为
1 或 1 时，分圆所成两段弧长比值（劣弧比优弧）最大，
2
2
此时 tan
PCM
1 （ M 为垂足），因此该直线分圆所成两段弧长比值小于
1 ．
2
2
因此直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧．
2
法二：
若直线 l 将圆 C 分割成弧长的比值为
1 ，则圆心 (4 ， 2) 到直线 l 的距离为 r ，即
| 4 m 2( m2
2
2
1) 4m |
1 ，即 3m4
5m2
3 0 ，此方程无解，
m2
(m2
1)2
故直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为
1 的两段圆弧．
2
17、
（本小题共
13 分）
已知函数 f
(x)
ax2
2bx(a 0 ，b
0) ，
⑴ 若 a b
1，解不等式 log 2 f ( x)
≤ 3；
⑵ 若 f (1) 1 ，求： 1
1 的最小 ．
a
b
【解析】 ⑴
[ 4 ，
2) U (0 ，2] ．
⑵
3 2
2
18、
（本小 共 14 分）定 在 R 上的函数 f
x 足：
①当 x
0 ， f x 1；
② f 0
0；
③ 任意 数 x , y 均有 f x
y
f x
f y ．
⑴
当 x
0 ，求 ： 0
f
x
1；、
⑵ 求 ： f x 是 R 上的减函数；
⑶
已知函数 g
x
f x 4
f
x2
2x
在定 域 D 上的最小
1 ， D 中元素的可能的最
大 和最小 分
a 和 b ，求
a
b ．
【解析】 ⑴
由③，取 y
x ， f
0
f
x f
x
，
再取 x
0
，就有 f
0 1 ，∴ f
x
1
．
x
f
由①，可 得命 ．
4 分
⑵ 当 y
0 ， f x y
f x
f x f y 1 0
∴ f
x
是
R 上的减函数．
8 分
⑶
a
b
3 ．
14 分
19、
（本小 共 14
分）
已知双曲 x2
y2
1 的左、右 点分
A1 ， A2 ，点 P x1 ，y1
， Q x1 ， y1 是双曲 上
2
不同的两个 点．
⑴
求双曲 的离心率；
⑵
求直 A1 P 与 A2Q 交点的 迹 E 的方程；
⑶
若 点
0 ,
h ， h 0 的两条直 l1 和 l 2 与 迹 E 都只有一个交点，且 l1
l2 ， h 有多少
种不同的取 ？
【解析】 ⑴ e
6
；
2
2
⑵
x
y
2
1 （ x
2 ）．
2
⑶ 由 l1 与 l2 与轨迹 E 都只有一个交点包含三种情况：
① l1 、 l2 均与椭圆相切；
② l1 、 l2 中一条过点
A1
或 A2 另外一条与椭圆相切，这两种图形对应的
h 相同；
③ l1 、 l2 中一条过点
A1
另外一条过点 A2 ．
y
y
y
A1
O
A2x
A1
O
A2 x
A 1
O
A2x
20、
（本小题共
13 分）
设 X
1,
2, 3 , L
, 100 ，对
X
的任意非空子集
，
中的最大数与最小数的平均数称为
M
M M
的极均值，记为 d
M ．
⑴
求 d
M
的最大值；
⑵
对 X 的非空子集 M ，记 M
101 x | x M
，求证： d M
d M 为定值；
⑶
求 X 的所有非空子集的极均值的平均数．
【解析】 ⑴
d M 的最大值为 100；
⑵
d M
d M
101 为定值；
1 101n 101 ．
2n2