河南省开封市 2019 届九年级上期末调研数学试题及答案届
九年级（上）期末
数学试卷
一．选择题
1． “a 是实数， |a|≥ 0”这一事件是（ ）
A ． 必然事件 B． 不确定事件 C． 不可能事件 D． 随机事件
2．下列各式正确的是（ ）
A ． =6 B． =2 C． =4 D． =﹣ 3
3．有五张一面分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案
不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中
心对称图案的卡片的概率是（ ）
A ． B． C． D．
4、一次函数 y＝﹣ 2x+4 的图象与坐标轴分别交于 A 、 B 两点，把线段 AB 绕着点 A 沿逆时
针方向旋转 90°，点 B 落在点 B′处，则点 B′的坐标是（ ）
A ． （ 6， 4） B ． （4， 6） C． （6， 5） D． （ 5， 6）
5．如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙ O 上，点 P 在 上不同于点 C 的任意一点，
则∠ BPC 的度数是（ ）
A ． 45°
B． 60°
C． 75°
D． 90°
6．一个圆锥的底面半径为
，母线长为 6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（
）
A ． 180°
B．
150°
C． 120°
D． 90°
2
2
） x+1=0 有两个不相等的实数根，那么
k 的取
7．如果关于 x 的一元二次方程 k x ﹣（ 2k+1
值范围是（
）
A ． k＞
B． k＞
且 k≠0
C． k＜
D． k≥且 k≠0
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8．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ ABC 相似的是
（ ）
2
2
的
9．如图为二次函数 y=ax +bx+c 的图象，在下列说法中：
① ac＜ 0；② 方程 ax +bx+c=0
2
根是 x1=﹣ 1， x2=3； ③ a+b+c＞ 0；④ 当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大； ⑤ 2a﹣ b=0⑥ b
﹣4ac＞ 0．正确的说法有（
）
A ． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二．填空题
10．计算： = _________ ．
11．如果两个连续偶数的积为 288，那么这两个数的和等于 _________ ．
12．若 （ abc≠0），则 = _________ ．
13．已知 y= ，当 x _________ 时，函数有意义？
14．已知两个圆相切，圆心距为 8cm，其中一个圆的半径为 12cm，则另一个圆的半径为
_________ ．
15．将抛物线 y=3x 2﹣6x+4 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到新的抛物
线，则新抛物线的顶点坐标是 _________ ．
16． AB 、 AC 与⊙ O 相切与 B 、C 两点，∠ A=40 °，点 P 是圆上异于 B 、 C 的一动点，则
∠BPC 的度数是 _________ ．
17．一枚均匀的正方形骰子，六个面分别标有数字 1、 2、3、 4、 5、 6，连续抛掷两次朝上
的数字分别是 m、 n，若把 m、 n 作为点 A 的横、纵坐标，那么点 A （ m、n）在函数 y=2x
的图象上的概率是 _________ ．
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18．已知一次函数 y=2x+2 与 x 轴 y 轴交于 A 、 B 两点，另一直线 y=kx+3 交 x 轴正半轴与
E，交 y 轴于 F 点，如 △ AOB 与 E、 F、 O 三点组成的三角形相似，那么 k 值为
_________ ．
三．解答题
19．（ 12 分）解方程或化简：
1） 2x2﹣ 1=3x
2）（ 3x﹣ 1）（ x﹣ 2） =2
（3）若 a=3+2
，b=3 ﹣ 2
2
2
的值．
，求 a b﹣ab
20．（ 8 分）一块矩形土地的长为 24m，宽为 12m，要在它的中央建一块矩形的花坛，四
周铺上草地，其宽度相同，花坛面积是原矩形面积的 ，求草地的宽．
21．（ 6 分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，
△ABC 的顶点均在格点上，点 P 的坐标为（﹣ 1， 0），请按要求画图与作答．
1）把 △ABC 绕点 P 旋转 180°得 △A ′B′C′．
2）把 △ABC 向右平移 7 个单位得 △ A ″B ″C″．
3） △ A ′B′C′与 △ A ″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．
22．（ 8 分）已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，且 AB ⊥ CD，垂足为 E．
1）求证： BC=BD；
2）若 BC=15 ， AD=20 ，求 AB 和 CD 的长．
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23．（ 10 分）如图，二次函数
2
y=ax +bx+c （ a≠0）的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴
交于 C 点， D 是图象上的一点，
M 为抛物线的顶点．已知
A （﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）， D
（1， 8）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求 △ MCB 的面积．
24．（ 10 分）如图， △ABC 中， BD 是角平分线，过 D 作 DE∥ AB 交 BC 于点 E， AB=5cm ， BE=3cm ，则 EC 的长为 _________ cm．
25．（ 12 分）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点 P 到 x 轴的距离是 4，抛物线
x 轴相交于 O、M 两点， OM=4；矩形 ABCD 的边 BC 在线段的 OM 上，点 A 、 D 在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设 D（ m， n），矩形 ABCD 的周长为 l ，写出 l 与 m 的关系式，并求出 l 的最大值；
（3）点 E 在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点 F，使得以 E、 F、 O、 M 为顶
点的四边形是平行四边形？如果存在，写出 F 点的坐标．
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参考答案
一．选择题
1． A 2． B
3． D 4． B
5． A 6． B
7． B 8． A
9． D
二．填空题
10． 5 ．
11． 34 或﹣ 34 ．
12． ．
13．当 x ≤1 且 x≠0 时，函数有意义？
14． 4cm 或 20cm ．
15． （ 4， 3） ．
16． 70°或 110° ．
17． ．
18．﹣ 2 或﹣ ．
三．解答题
19． （ 1） 2x 2﹣ 1=3x
解： 2x2﹣3x ﹣ 1=0
x= ，
x1= ， x2= ；
2）（ 3x﹣ 1）（ x﹣ 2） =2
解： 3x2﹣7x=0
x（ 3x﹣ 7） =0
x=0 ， 3x﹣ 7=0
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x1=0 ， x2= ；
（ 3）若 a=3+2 ， b=3﹣ 2 ，
2
a b﹣ ab
=ab（ a﹣ b）
=（ 3+2
）（ 3﹣2
）[ （ 3+2
）﹣（ 3﹣ 2
） ]
=4 ．
20． 解：设四周草地的宽度为
xm ，
根据题意得：
，
化简整理得： x2﹣18x+32=0 ，
x﹣ 16）（ x﹣ 2）=0，∴解得： x1=16 ， x2=2，
x1=16 （不合题意舍去）
答：草地的宽度为 2 米．
21． 解：（ 1）（ 2）如图：
（ 3）由图可知， P'（ 2.5，0）．
22． （ 1）证明：∵ AB 为⊙ O 的直径， AB ⊥CD ，
∴ ，
BC=BD；
2）解：∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90 °，
∴ AB= = =25，
∵ AB ?DE= AD ?BD ，
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∴ ×25×DE= ×20×15．
DE=12 ．
AB 为⊙ O 的直径， AB ⊥ CD ，
∴ CD=2DE=2 ×12=24 ．
23．
解：（ 1）由题意得， ，
解得：
y= ﹣ x2+4x+5 ．
2
（ 2）令 y=0 ，得﹣ x +4x+5=0 ，
解得： x1=5， x2=﹣ 1，
∴ B（ 5， 0），
2
2
，得 M （2， 9），
由 y= ﹣x +4x+5=
﹣（ x﹣ 2） +9
作 ME ⊥y 轴于点
E，
则 S△MCB =S 梯形 MEOB ﹣ S△MCE﹣ S△OBC= （ 2+5）×9﹣ ×4×2﹣ ×5×5=15．
24． 解：∵ BD 平分∠ ABC ，
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∴∠ ABD= ∠ DBC ．
DE∥ AB ，
∴∠ ABD= ∠ BDE ．
∴∠ DBC= ∠ BDE ．
DE=BE=3cm ． ∵ DE∥ AB ，
∴△ CDE∽△ CAB ．
．
∴
．
解得 EC=4.5cm ．
25． 解：（ 1）∵抛物线与
x 轴相交于 O、 M 两点， OM=4 ，
∴顶点 P 的横坐标为
4÷2=2， M 的坐标为（ 4， 0），
∵顶点 P 到 x 轴的距离是 4，
∴顶点 P 的纵坐标为
4，
∴顶点 P 的坐标为（
2， 4），
设抛物线的解析式为
y=a（ x﹣ 2） 2
+4，
则 a（ 4﹣
2
2） +4=0 ，
解得 a=﹣1，
∴抛物线的解析式为
y= ﹣（ x﹣ 2） 2
+4，
2
即 y= ﹣x +4x；
（ 2）∵ D （ m， n）在抛物线上，
2
∴ n=﹣ m +4m， BC=4 ﹣2m，
∴矩形 ABCD 的周长为 l=2 （4﹣ 2m+n ），
=2 （ 4﹣ 2m﹣m2 +4m），
=﹣ 2（ m2﹣ 2m+1） +10 ，
2
=﹣ 2（ m﹣ 1） +10 ，
l= ﹣ 2（ m﹣ 1）2+10 ，
∴当 m=1 时，周长 l 有最大值 10；
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（ 3） ① OM 是平行四边形的边时，点
F 的横坐标为
2﹣ 4= ﹣2，
纵坐标为：﹣（﹣ 2） 2
+4×（﹣ 2） =﹣4﹣ 8=﹣ 12，
此时，点 F（﹣ 2，﹣ 12），
或点 F 的横坐标为 2+4=6 ，
2
纵坐标为：﹣ 6 +4 ×6=﹣ 36+24=12，
此时，点 F（ 6，﹣ 12），
OM 是平行四边形的对角线时， EF 所在的直线经过 OM 的中点， ∴ EF 都在抛物线的对称轴上，
∴点 F 与点 P 重合，此时，点 F（ 2， 4），
综上所述，点 F（﹣ 2，﹣ 12）或（ 6，﹣ 12）或（ 2， 4）时，以 E、 F、 O、M 为顶点的四边形是平行四边形．
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