黑龙江省哈尔滨市铁路职业中学2018年高三数学理月考试题
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若复数z满足（z﹣3）（1﹣3i）=10（i为虚数单位），则z的模为（ ）
A． B．5 C．2 D．25
参考答案：
B
【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．
【解答】解：∵（z﹣3）（1﹣3i）=10，
∴z=+3=1+3i+3=4+3i，
故|z|==5，
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．
2. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A. 5 B. 12 C. 27 D. 58
参考答案：
C
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.
【详解】第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：；
第四次循环：，
退出循环，输出，故选C．
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
3. 右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，
容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案：
B
略
4. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是偶函数的是（ ）
A.；? B.；? C.； D.
参考答案：
C
略
5. “φ=”是“函数y=sin（x+2φ）是偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若函数y=sin（x+2φ）是偶函数，则2φ=+kπ，
则φ=+，k∈Z，
故“φ=”是“函数y=sin（x+2φ）是偶函数”充分不必要条件，
故选：B
6. 周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．
解答： 解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，
所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）
=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．
故选：B．
点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．
7. 函数f（x）=的单调递增区间是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）
参考答案：
D
【考点】对数函数的单调区间．
【专题】计算题．
【分析】根据复合函数的同增异减原则，函数的增区间即u=x2﹣2x的单调减区间．
【解答】解：函数f（x）=的定义域为：[2，+∞）∪（﹣∞，0），设，函数的单调增区间即u=x2﹣2x的单调减区间，
u=x2﹣2x的单调减区间为（﹣∞，0）．
故选D．
【点评】本题考查了复合函数的单调性，遵循同增异减原则．
8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
9. 函数的定义域为（ ）
A．(0,3) B．(1,+∞) C．(1,3) D．[1,3)
参考答案：
D
10. 已知x1，x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（ ）
A．0＜x1x2＜ B．＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜e D．x1x2＞e
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用函数与方程的关系，将方程转化为两个函数的交点问题，结合对数函数的和指数函数的图象和性质，进行推理即可．
【解答】解：设y=e﹣x+2，y=|lnx|，
分别作出两个函数的图象如图：
不妨设x1＜x2，
则由图象知0＜x1＜1，x2＞1，
则+2=|lnx1|=﹣lnx1，
+2=|lnx2|=lnx2，
两式相减得﹣=lnx2+lnx1=ln（x1x2）
∵y=e﹣x为减函数，
∴＜，即﹣=ln（x1x2）＜0，
则0＜x1x2＜1，
∵0＜﹣lnx1＜1，∴lnx1＞﹣1，可得x1＞
∵x2＞1，∴x1x2＞，
综上＜x1x2＜1；
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将正方体的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并涂好了过顶点A的3个面得颜色，那么其余3个面的涂色方案共
有 ?种
参考答案：
13
12. 已知抛物线的顶点为原点，焦点F(1，0 )，过点F的直线与抛物线交于A ,B两点，且|AB|=4，则线段AB的中点M到直线x=-2的距离为? ▲ .
参考答案：
3
依题意可得抛物线的准线方程为直线，设，到直线的距离分别为，
由抛物线的定义可得
∴线段的中点到直线的距离为
故答案为3
?
13. 已知函数是的导函数，则=? 。
参考答案：
2
14. 已知的单调递增区间是____________.
参考答案：
略
15. 已知各项全不为零的数列的前项和为，且＝),其中=1.则
参考答案：
略
16. 已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1），点N（x，y）的坐标x、y满足不等式组的取值范围是 。
参考答案：
略
17. 已知实数x，y满足不等式组，则的最大值是 .
参考答案：
12
作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，当时，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.
?
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这l6人的数学成绩编成茎叶图，如图所示．
? (I)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示)，若甲班抽出来的同学平均成绩为l22分，试推算这个污损的数据是多少?
? (Ⅱ)现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率．
参考答案：
?
略
19. 如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成锐角的余弦值。
?
参考答案：
解：（1）取DE中点G，连接FG,AG，CG.
CFDG,所以FG∥CD.?
CGAB, ,所以AG∥BC.? 所以 平面AFG∥平面CBD
? 所以 AF∥平面CBD ……5分
另法：取BD中点M，设AFJ交BE于N,连CM，MN.证明CM平行FN.
（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以的中点坐标为因为，所以
易知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为
由
令则，，
所以面与面所成角的余弦值为. ……12分
略
20. 在平面直角坐标系中，将曲线：上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线；在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值．
参考答案：
（Ⅰ）由题意知，曲线方程为，参数方程为（为参数）．直线的直角坐标方程为． …………（6分）
（Ⅱ）设，则点到直线的距离为
，
多以当时，取最大值，此时取，点坐标是．
…………（10分）
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x2－x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，且数列{bn}是等差数列，求非零常数p的值；
(3)设cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
参考答案：
(1)由已知，对所有n∈N*，Sn＝2n2－n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，
因为a1也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由已知bn＝，
因为{bn}是等差数列，可设bn＝an＋b(a、b为常数)，
所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp，
所以因为p≠0，所以b＝0，p＝－．
(3)cn＝＝(－)，
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)．
由Tn<，得m>10(1－)．因为1－<1，
所以m≥10.
所以，所求的最小正整数m的值为10.
22. （12分）如图：已知长方体的底面是边长为4的正方形，高为的中点
(1)求证：
(2)求二面角的余弦值
参考答案：
解析：(I)证明：连结是长方体，
? 面
又面，，又是正方形，
?
? 面，即……3分
? 又，……6分
（II）如图，以为原点建系，由题意的
?
……6分
? 于是
? ，设面
? 不妨设由
? ……8分
? 设面，不妨设
? ……9分
若与的夹角，则……11分
据分析二面角是锐角，二面角的余弦值是……12分