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专题突破练22 统计与概率问题综合应用
1.(2020河南濮阳一模,19)2020年1月10日,引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科学家们便开始了病毒疫苗的研究.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:每天接种一次,3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12,假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关
(1)求一个接种周期内出现抗体的次数K的分布列;
(2)已知每天接种一次花费100元,现有以下两种试验方案:
①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周期,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为X元;
②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为Y元.
比较随机变量X和Y的数学期望的大小.
2.(2020广西南宁二中考前模拟,18)某投资公司在2010年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35
(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;
(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
3.(2020四川绵阳三诊,20)2020年3月,各行各业开始复工复产,生活逐步恢复常态,某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务.已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X(40≤X<200,单位:件.注:蔬菜全部用统一规格的包装箱包装),并分组统计得到表格如表:
蔬菜量X
[40,80)
[80,120)
[120,160)
[160,200)
天数
25
50
100
25
若将频率视为概率,试解答如下问题:
(1)该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况,求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率;
(2)该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟,每辆货车每趟最多可装载40件,满载才发车,否则不发车.若发车,则每辆货车每趟可获利2 000元;若未发车,则每辆货车每天平均亏损400元.为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公司应一次性租赁几辆货车?
4.(2020山东青岛三模,20)某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表:
阶梯
年用气量(立方米)
价格
(元/立方米)
第一阶梯
不超过228的部分
3.25
第二阶梯
超过228而不超过348的部分
3.83
第三阶梯
超过348的部分
4.70
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:
居民用
气编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量
(立方米)
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式;
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;
(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市任意抽取10户,用X表示年用气量不超过228立方米的户数,求P(X=k)(k=0,1,2,…,10)取最大值时k的值.
5.2019年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:
(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求P(50.5<Z<94).
(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;
②每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单位:元)
10
20
概 率
2
1
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.
附:210≈14.5,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 5.
6.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,21)2019年女排世界杯(第13届女排世界杯)是由国际排联举办的赛事,比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,失败的球队积0分;而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分,失败的球队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为中国队和美国队,中国队积26分,美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).
(1)如果比赛准备了1 000个排球,估计质量指标在(260,270)内的排球个数(计算结果取整数).
(2)第10轮比赛中,记中国队3∶1取胜的概率为f(p),求出f(p)的最大值点p0,并以p0作为p的值,解决下列问题.
(ⅰ)在第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列;
(ⅱ)已知第10轮美国队积3分,判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,中国队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.
参考数据:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.
7.时至21世纪,环境污染已经成为世界各国面临的一大难题,其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行,并以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召,准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下:第一天选择骑自行车方式上班,随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式,若得到的正面朝上的枚数小于4,则该天出行方式与前一天相同,否则选择另一种出行方式.
(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列;
(2)由条件概率我们可以得到概率论中一个重要公式——全概率公式.其特殊情况如下:如果事件A1A2相互对立并且P(Ai)>0(i=1,2),则对任一事件B有P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=P(A1B)+P(A2B).设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.
①用pn-1表示pn(n≥2);
②王先生的这种随机选择出行方式的做法有没有积极响应该市政府的号召,请说明理由.
专题突破练22 统计与概率问题
综合应用
1.解(1)由题意可知,随机变量K服从二项分布B3,12,故P(K=k)=C3
则K的分布列为
K
0
1
2
3
P
1
3
3
1
(2)①设一个接种周期的接种费用为ξ元,则ξ可能的取值为200,300,
因为P(ξ=200)=14,P(ξ=300)=34,所以E(ξ)=200×14+300
所以三个接种周期的平均花费为E(X)=3E(ξ)=3×275=825.
②随机变量Y可能的取值为300,600,900,
设事件A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”,由(1)知,P(A)=3
所以P(Y=300)=P(A)=12,P(Y=600)=[1-P(A)]×P(A)=1
P(Y=900)=[1-P(A)]×[1-P(A)]×1=14
所以E(Y)=300×12+600×14+900
所以E(X)>E(Y).
2.解(1)若按“项目一”投资,设获利ξ1万元,则ξ1的分布列为:
ξ1
300
-150
P
7
2
∴E(ξ1)=300×79+(-150)×29
若按“项目二”投资,设获利ξ2万元,则ξ2的分布列为:
ξ2
500
-300
0
P
3
1
1
∴E(ξ2)=500×35+(-300)×13+0×
又D(ξ1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×
D(ξ2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)
所以E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2),这说明虽然项目一、项目二获利的数学期望相等,但项目一更稳妥.
综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.
(2)假设n年后总资产可以翻一番,依题意,得10001+2001000n=2000,即1.2
两边取对数得:n=lg22lg2+lg3-1≈
所以大约4年后,即在2013年底总资产可以翻一番.
3.解(1)记事件A为“在200天随机抽取1天,其蔬菜量小于120件”,则P(A)=38
∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为
p=C
(2)由题意得每天配送蔬菜量X在[40,80),[80,120),[120,160),[160,200)的概率分别为18
设物流公司每天的营业利润为Y,
若租赁1辆车,则Y的值为2000元,
若租赁2辆车,则Y的可能取值为4000,1600,
P(Y=4000)=78,P(Y=1600)=18,∴Y
Y
4000
1600
P
7
1
∴E(Y)=4000×78+1600×18=
若租赁3辆车,则Y的可能取值为6000,3600,1200,
P(Y=6000)=58,P(Y=3600)=14,P(Y=1200)=
∴Y的分布列为:
Y
6000
3600
1200
P
5
1
1
∴E(Y)=6000×58+3600×14+1200×
若租赁4辆车,则Y的可能取值为8000,5600,3200,800,
P(Y=8000)=18,P(Y=5600)=12,P(Y=3200)=14,P(Y=800)
∴Y的分布列为:
Y
8000
5600
3200
800
P
1
1
1
1
∴E(Y)=8000×18+5600×12+3200×14+
∵4800>4700>3700>2000,∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公司应一次性租赁3辆货车.
4.解(1)由题意,当x∈(0,228]时,y=3.25x;
当x∈(228,348]时,y=3.83(x-228)+3.25×228=3.83x-132.24;
当x∈(348,+∞)时,y=4.7(x-348)+3.83(348-228)+3.25×228=4.7x-435,
所以年用气费y关于年用气量x的函数关系式为y=3
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户,设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ,则ξ可取0,1,2,3,
则P(ξ=0)=C73C103=724,
P(ξ=2)=C7
P(ξ=3)=C3
故随机变量ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
7
21
7
1
所以E(ξ)=0×724+1×2140+2
(3)由题意知从全市任意抽取1户,年用气量不超过228立方米的概率近似为35,P(X=k)=C10k35
由
C
解得285≤k≤335,又k
所以当k=6时,概率P(X=k)最大,即k=6.
5.解(1)E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,
∴μ=65,σ=210≈14.
∴P(50.5<Z<79.5)≈0.6827,
P(36<Z<94)≈0.9545,
∴P(79.5<Z<94)≈0.9545-
∴P(50.5<Z<94)=P(50.5<Z<79.5)+P(79.5<Z<94)≈0.6827+0.1359=0.8186.
(2)P(Z<μ)=P(Z≥μ)=12
X的所有可能取值为10,20,30,40,
P(X=10)=12
P(X=20)=12
P(X=30)=12
P(X=40)=1
故X的分布列为
X
10
20
30
40
P
1
7
2
1
6.解(1)因为ξ~N(270,52),所以P(260<ξ<270)=0.95442=0
所以质量指标在(260,270)内的排球个数约为1000×0.4772=477.2≈477(个).
(2)f(p)=C32p3(1-p)=3p3(1-p),f'(p)=3[3p2(1-p)+p3(-1)]=3p2(3-4p
令f'(p)=0,得p=3
当p∈0,34时,f'(p)>0,f(p)
当p∈34,1时,f'(p)<0,f(p)
所以f(p)的最大值点p0=34.从而
(ⅰ)X的可能取值为3,2,1,0.
P(X=3)=p3+C32p2(1-p)p=189256,P(X=2)=C42p2(1-p
P(X=1)=C42p2(1-p)3=
P(X=0)=(1-p)3+C31p(1-p)3=13256,
X
3
2
1
0
P
189
81
27
13
(ⅱ)若X=3,则中国队10轮后的总积分为29分,美国队即便第10轮和第11轮都积3分,则11轮过后的总积分是28分,29>28,所以,中国队如果第10轮积3分,则可提前一轮夺得冠军,其概率为P(X=3)=189
7.解(1)设一次性抛掷6枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ,则ξ~B6,
P(ξ<4)=C60126+C61126+C6
由已知随机变量X的可能取值为1,2,3;
P(X=1)=P(ξ≥4)·P(ξ<4)=1132
P(X=3)=P(ξ<4)·P(ξ<4)=2132
P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=3521024或P(X=2)=P(ξ<4)·P(ξ≥4)+P(ξ≥4)·P(ξ≥4)=21
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
231
352
441
(2)①设An-1表示事件“第n-1天王先生选择的是骑自行车出行方式”,An表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行方式”,由全概率公式知pn=P(An)=P(An|An-1)P(An-1)+P(An|An-1)P(An-1)=pn-1·P(ξ<4)+(1-pn-1)·P(ξ≥4)=516pn-1+1132,即pn=516p
②由①知pn-12=516pn-1-12,n≥2,又p1=1,所以数列pn-12是首项为1
因为pn=12516n-1+12>