高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前 n 项和法（知 Sn 求an ）
S
1
a
n S S
n n
1
(n
(n
1)
2)
例 1、已知数列 { an } 的前 n 项和
2
Sn 12n n ，求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn
1、若数列 { }
a 的前 n 项和
n
n
S 2 ，求该数列的通项公式。
n
3
2、若数列 { an} 的前 n 项和 3
Sn a ，求该数列的通项公式。
n
2
3、设数列 { }
a 的前 n 项和为 Sn ，数列 { Sn } 的前 n 项和为 Tn ，满足
n
求数列 { }
a 的通项公式。
n
2
T 2S n
n ，
n
2. 形如an 1 an f (n)型（累加法）
（1）若 f(n) 为常数 , 即： a a d
n 1 , 此时数列为等差数列，则 an =a1 (n 1)d .
n
（2）若 f(n) 为 n 的函数时，用累加法 .
n 1
例 1. 已知数列｛ an｝满足 a1 1,a 3 an (n 2)
n , 证明
1
a
n
n
3
2
1
1. 已知数列
a 的首项为 1，且
n
*
a 1 a 2n( n N ) 写出数列
n n
a 的通项公式 .
n
1
2. 已知数列 { an} 满足 a1 3， ( 2) an an 1 n ，求此数列的通项公式 .
n(n 1)
a
3. 形如 n 1 f (n) 型（累乘法）
a
n
a
n 1 （其中 q 是不为 0 的常数），此数列为等比且
（1）当 f(n) 为常数，即： q
a
n
（2）当 f(n) 为 n 的函数时 , 用累乘法 .
n
例 1、在数列 { } a 1, an an (n 2) ，求数列的通项公式。
a 中 1 1
n
n 1
n 1
1、在数列 { } a 1, an an (n 2) ，求 an与Sn 。
a 中 1 1
n
n 1
2n 3
2、求数列 a1 1,a a (n 2)的通项公式。
n n 1
2n 1
a =
n
n 1
a q .
1
4. 形如
a
n
pa
n
ra
n 1
1 型（取倒数法）
s
例 1. 已知数列
a
n
1 n
a 中， a1 2 ， an ( 2) ，求通项公式 a n
n
2a 1
n 1
练习： 1、若数列 { }
a 中， a1 1,
n
a
n
a , 求通项公式 an .
n 1 a
3 1
n
2、若数列 { }
a 中， a1 1， an 1 an 2an an 1 ，求通项公式 an .
n
5．形如 an n , ( 0 , 其中a1 a ) 型（构造新的等比数列）
1 ca d c
（1）若 c=1 时，数列 {
a } 为等差数列 ; （2）若 d=0 时，数列 { an } 为等比数列 ;
n
（3）若 c 1且d 0时，数列 {
a } 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 .
n
方法如下：设 ( )
an 1 A c an A , 利用待定系数法求出 A
1 1
例1．已知数列 { }
a 中， a1 an an , 求通项 an .
2, 1 n
2 2 练习： 1、若数列 { }
a 中， a1 2 , an 1 2an 1, 求通项公式 an 。
n
2
3、若数列 { }
a 中， a1 1, an a 1, 求通项公式 an 。
n 1 n
3
6. 形如an n ( ) 型（构造新的等比数列）
1 pa f n
(1) 若 f (n) kn b一次函数 (k,b 是常数，且 k 0) ，则后面待定系数法也用一次函数。
例题. 在数列 { }
a 中，
n
3
a ， 2an an 1 6n 3, 求通项
1
2
a .
n
练习： 1、已知数列 an 中， a 3， 3 4 2
an 1 an n ，求通项公式 an 1
(2) 若
n
f (n) q ( 其中 q 是常数，且 n 0,1)
①若 p=1 时，即：
n
an 1 a q ，累加即可
n
②若 p 1时，即：
n
an 1 p a q ，后面的待定系数法也用指数形式。
n
两边同除以
n 1
q . 即：
an p a 1
1 ,
n
n 1 n
q q q q
令
a
n
b , 则可化为
n q
n
b
n
p 1
1 . 然后转化为类型 5 来解，
b
n
q q
例1. 在数列 { }
a 中，
n
2
n 1
a ，且 2 3 ( )
a a 1 n N
1
n n
5
．求通项公式
a
n
1、已知数列
2、已知数列
1 1
n
a 中， 2an a 1 ( ) ，求通项公式 an 。
a ，
n 1 n
2
2
n
a 中， a1 1，an 1 3a 3 2 ，求通项公式 an 。
n n
题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知
S 为等差数列 an 的前 n 项和， a6 100 ，则 S11；
n
2、设 Sn 、Tn 分别是等差数列 an 、 bn 的前 n 项和，
S 7n 2
n ，则
T n 3
n
a
5
b
5
.
3、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若
a 5 S
5 , 9
则 （ ）
a 9 S
3 5
5、在正项等比数列 an 中， a1a5 2a3a5 a3a7 25 ，则 a3 a5 _____ __。
6、已知 Sn 为等比数列 an 前n 项和， Sn 54 ， S2n 60 ，则 S3n .
7、在等差数列 an 中，若 S4 1, S8 4 ，则 a17 a18 a19 a20 的值为（ ）
8、在等比数列中，已知
a9 a10 a(a 0) ，a19 a20 b ，则 a99 a100 .
题型三：证明数列是等差或等比数列
A) 证明数列等差
例 1、已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2 Sn·Sn
－1=0（n≥2），a1=
1
2
.求证： {
1
S
n
}是等差数列；
B）证明数列等比
例 1、已知数列 an 满足
*
a1 1,a2 3, an 2 3an 1 2an (n N ).
⑴证明：数列
a a 是等比数列； ⑵求数列 an 的通项公式；
n 1 n
题型四：求数列的前 n 项和
基本方法： A ）公式法，
B）分组求和法
1、求数列
n
{2 2n 3} 的前 n 项和 Sn .
C）裂项相消法 ，数列的常见拆项有：
1 1 1 1
( )
n(n k) k n n k
1
； n n
1
n n 1
；
例 1、求和： S=1+
1
1 2 1
1
2
3
1
2
1
3
n
例2、求和：
1
2
1 1
1 3 2 4 3
1
n 1
n
.
D）倒序相加法，
例、设
2
x
1 f f f 1 f f f
1 1
f (x) ，求： f ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( 2009 ) ( 2010).
2 2010 2009 3 2
1 x
E）错位相减法，
1、若数列 an 的通项
n
an (2n 1) 3 ，求此数列的前 n 项和 Sn .
3.
2 n 1
S x x L nx x （将分为 x 1和 x 1两种情况考虑）
1 2 3 ( 0)
n