统计、概率练习试题
1、 【2012高考山东】 ⑷在某次测量中得到的 A样本数据如下：82, 84, 84, 86 , 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B样本数据恰好是 A样本数据都加2后所得数据，则 A, B两样本的下 列数字特征对应相同的是
（A）众数 （B）平均数 （C）中位数 （D）标准差
【答案】D
2、 【2012高考四川】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情
况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中
甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,
则这四个社区驾驶员的总人数 N为（ ）
A、 101 B、 808 C、 1212 D、 2012
【答案】B
3、 某市有大型超市 200家、中型超市 400家、小型超市 1400家。为掌握各类超市的营业情
况，现按分层抽样方法抽取一个容量为 100的样本，应抽取中型超市 家。
4、 【2012高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如
图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A . 46, 45, 56 B. 46, 45, 53
C. 47, 45, 56 D. 45, 47, 53
【答案】A.
5、 【2012高考湖北】容量为 20的样本数据，分组后的频数如下表
则样本数据落在区间[10,40]的频率为
A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65
2【答案】B
6、 【2012高考广东】由正整数组成的一组数据 X1,X2,X3,X4，其平均数和中位数都是 2，且
标准差等于1,则这组数据为 .（从小到大排列）
【答案】1.1.3.3
7、 【2012高考山东】右图是根据部分城市某年 6月份的平均气温（单位：C ）数据得到的样本
频率分布直方图，其中平均气温的范围是] 20.5, 26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5）,
[21.5,22.5） , [22.5,23.5） , [23.5,24.5） , [24.5,25.5） , [25.5,26.5].已知样本中平均气温低于 22.5C的城市个数为11,则样本中平均气温不低于 25.5C的城市个数为 .
【答案】9
8、 【2012高考湖南】图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运
0 8 9
动员在这五场比赛中得分的方差为 . 10 3 5
图2
2 1 2 2 2 —
(注：方差 s — (x1 x) (x2 x) L (xn x)，其中 x为 xi , X2,…，xn 的平均
n
数)［来
【答案】6.8
9、 【2012高考江苏】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3： 3： 4，现用分层抽样的方
法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50的样本，则应从高二年级抽取 _
_名学生.
【答案】15。
10、 【2012高考安徽】袋中共有 6个除了颜色外完全相同的球，其中有 1个红球，2个白球
和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" "1 2 3 4
(A) ( B) (C) ( D)-
\o "Current Document" 5 5 5 5
【答案】B
【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为a1,b^,b2,^,c2,c3, 从袋中任取两球共有印山&4厲(；6~；印忑444(；九$4心15种;
b2> Cl； b2> C2；b2> C3； C1> C2；C1> C3；C2> C3
满足两球颜色为一白一黑有 6种，概率等于 — -。
15 5
11、【2102
11、【2102高考北京】设不等式组
2,，表示平面区域为
2
D，在区域D内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是
(A) ( B)
4
2
2
4
(C) ( D)
6 4
【答案】D
【解析】题目中
0
x
表示的区域如图正方形所示，而动点
D
0
y
2
可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
-，故选D。412、【2012高考辽宁】在长为 12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于2线段AC,CB的长，则该矩形面积大于 20cm的概率为：(A)(B)(C)(D)【答案】【解析】设线段AC的长为xcm,
-，故选D。
4
12、【2012高考辽宁】在长为 12cm的线段AB上任取一点
C.现作一矩形，邻边长分别等于
2
线段AC,CB的长，则该矩形面积大于 20cm的概率为
：(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
【解析】
设线段AC的长为xcm,则线段CB的长为(12 x)cm,那么矩形的面积为 x(12 x) cm，
由 x(12
2 2
x) 20，解得2 x 10。又0 x 12，所以该矩形面积小于 32cni的概率为-,
3
故选C
13、
【2012高考浙江】从边长为 1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点,
则该两点间的距离为一2的概率是
2
2
【答案】2
5
【解析】若使两点间的距离为 二2，则为对角线一半，选择点必含中心,
2
14、【2012高考江苏】现有10个数，它们能构成一个以 1为首项,
3为公比的等比数列,
若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于 8的概率是 ▲
【答案】
【考点】
等比数列，概率。
【解析】
以1为首项， 3为公比的等比数列的
10个数为1,— 3, 9, -27 ,? 其中有5
个负数,
1个正数1计6个数小于8,
从这10个数中随机抽取一个数，它小于
8的概率是—=-。
10 5
15、从正六边形的 6个顶点中随机选择 4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率
等于
(A)(B)
(A)
(B)
(C)-
(D)-
16、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两
局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A.C.11.有一个容量为66
A.
C.
11.有一个容量为
66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5 , 15.5)
2 [15.5 ,
19.5)
4 [19.5 , 23.5)
9 [23.5
18
[27.5 , 31.5)
3
1l [31.5 ,
35.5)
12 [35.5 , 39.5)
7 [39.5
17、从1 ,, 3,4这四个数中一次随机取两个数， 则其中一个数是另一个的两倍的概率是
27.5)
43.5)
根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5的数据约占
（A）? （ B） 1 （ C）1 （ D） 2
11 3 2 3
18、从装有3个红球、2个白球的袋中任取 3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率
是
八 1 f 3
c 3
9
A. B.
c.—
D.
10 10
5
10
19、【2012高考山东】袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2, 3;蓝色卡
片两张，标号分别为 1, 2.
（I ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4的概率；
（H ）现袋中再放入一张标号为 0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4的概率.
【答案】（18）（1）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10种：红1红2,红1红3,红1
蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的
颜色不同且标号之和小于 4的有3种情况，故所求的概率为 P —.
10
（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10种情况外，多
出5种情况：红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况，其中颜
色不同且标号之和小于 4的有8种情况，所以概率为 P —.
15
20、【2012高考新课标】某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每
枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理
（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量 n （单位：枝, n€ N）的函数解析式.
（H）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
（1）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ⑵若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 求当天的利润不少于 75元的概率.
【答案】
21、 【2012高考四川】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A和B，系
1
统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 —和p。
10
49
（I）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 一，求p的值；
50
（n）求系统 A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学
建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力
【答案】
【解析】
22、 【2012高考重庆】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，
1
一直每人都已投球 3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 -，乙每次投篮投中的概率
3
1
为丄，且各次投篮互不影响。（I）求乙获胜的概率；（n）求投篮结束时乙只投了 2个球
2
的概率。
【解析L设斗E分别義示甲、乙在第k次按篮中，则） = =
（I ）记审乙获胜”为事件c,由互斥事件有一个发生的慨率与相互独立事1牛商时一发生肌概 率计算公式知三卩（-务0］）十卫（播耳及丿十他吕、屯Bj
=卫（工妙（即+卫（却氏瓦讯瓦尸込）+P（忑M国）P（无H瓦“应疋偲）
：1 y 入心门
=亍'〒「弓_q（-）=—
（111记“投篮结朿时乙只投了 2个附为事件d，则由互斥事件有一个发生的概率与相互
独立事件同时发生的概率计算公式知 p（D） p（A1B1A2B2） p（A1B1A2B2A3）
23、 【2012高考天津】某地区有小学 21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法 从这些学校中抽取 6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
II )若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2所学校做进一步数据分析，
( 1)列出所有可能的抽取结果；
( 2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率。
【答案】
24、【 2012 高考陕西】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他 们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下：
估计甲品牌产品寿命小于 200小时的概率；
(n)这两种品牌产品中，，某个产品已使用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。
【答案】
25、【2012 高考江西】 如图， 从 A1( 1,0,0)， A 2( 2,0,0) ， B1( 0,1,0,) B2( 0,2,0)， C1( 0,0,1) ， C2 (0,0,2)这 6个点中随机选取 3 个点。
( 1) 求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
求这 3点与原点 O 共面的概率。
1、 【2012高考浙江】 设I是直线，a,B是两个不同的平面
A.若 I // a, I //B,贝U a //B B.若 I // a, I 丄 B,贝U a±3
C.若a丄B, I丄a,则I丄B D.若a丄B , I // a,则I丄B
【答案】 B
【解析】利用排除法可得选项 B是正确的， I // a, I丄B,贝U a丄B ?如选项 A : I // a, I //B时，a丄B或a//B；选项C :若a丄B, I丄a, I /B或I ;选项D :若若a丄B , I丄 a, I //B 或 I 丄 B.
2、 【 2012 高考四川】下列命题正确的是( )
A、 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】 C
3、【 2012 高考新课标】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视
图，则此几何体的体积为（【答案】B【解析】选B由三视图可知,
图，则此几何体的体积为（
【答案】B
【解析】选B由三视图可知,
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
3，所以几何体的体
1 1
9选B.积为v 1 1 6 3 3
9选B.
3 2
4、［2011陕西卷］某几何体的三视图如图 1 — 2所示，则它的体积是（ ）
图1 — 2
C. 8 — 2 n D.#
课标理数5.G2［2011陕西卷］A 【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图
形，应该是一个棱长为 2的正方体中间挖去一个半径为 1,高为2的圆锥，则对应体积为： V
1 2
=2X 2X 2-3 nX 12X 2= 8-3 n.
5、【2012高考新课标】平面a截球O的球面所得圆的半径为 1 ,球心O到平面
5、【2012高考新课标】平面a截球
则此球的体积为
(A) 丁6
(A) 丁6 n
(B) 4 3 n
(C) 4 6 n
(D) 6 3n
【答案】B
【解析】球半径r.1 (2)23
【解析】球半径r
.1 (2)2
3，所以球的体积为| （3 43，选B.
6、【2012高考全国】已知正四棱柱
ABCD
AB1C1D1 中，AB 2, CC1 2 “2 , E 为CCi
的中点，则直线 AC,与平面BED的距离为
(A) 2
(A) 2
(C) 2
(D) 1
【答案】D
【解析】连结AC,BD交于点O ,连结OE ,因为O, E是中点，所以OE//AQ，且
1
OE —AC，所以ACJ/BDE，即直线AC1与平面BED的距离等于点 C到平面BED的 2
距离，过 C做CF OE于F ,则CF即为所求距离?因为底面边长为 2，高为2 2，所以
AC 2 2 , OC . 2,CE 2 , OE 2 ,所以利用等积法得CF 1，选D.
【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故 A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这
两个平面平行或相交?
7、 在三棱锥 O-ABC中，三条棱 OA OB OC两两互相垂直，且 OA= OB= OC,M是 AB的中点，贝U
OM与平面ABC所成角的正弦值是
8、 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长都相等， M是侧 棱CC,的中点，则异
面直线AB和BM所成的角的大小是 。
9、 如图：正四面体 S— ABC中，如果 E, F分别是SC, AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于 (C )
A. 60° B . 90° C . 45° D . 30
10、 ［2011四川卷］如图1 — 5,在直三棱柱 ABC — A1B1C1中，/ BAC =
90 °, AB= AC = AA1= 1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P= A1C1，连结 AP 交棱
(1)求证：PB1// 平面 BDA1；
⑵求二面角A — A1D — B的平面角的余弦值.
图1 — 5
大纲文数19.G12［2011四川卷］【解答】 解法一：
(1)连结AB1与BA1交于点O,连结OD.
TC1D // AA1, AQ1= C1P,
AD = PD,
又 AO = B1O,a OD // PB1.
又 0D?平面 BDAi, PBi?平面 BDAi,
PBi// 平面 BDAi.
⑵过A作AE丄DAi于点E，连结BE.
BA 丄 CA, BA 丄 AAi, 且 AAiA AC = A,
BA 丄平面 AAiCiC.
由三垂线定理可知 BE丄DAi.
/ BEA为二面角 A—AiD — B的平面角.
在 Rt△ AiCiD 中，AiD = ' . 2 2+ i2^#5,
i i
又 SA AAiD = 2X ix i = 2 PBi/ 平面 BDA
PBi/ 平面 BDAi,
? AE
在 Rt
在 Rt △ BAE 中，BE =
2诉 2 -3/5
5 — 5
? cos / BEA = Ar = 2
BE 3'
2
故二面角A— AiD — B的平面角的余弦值为3.
3
解法二：
图i — 7
如图i — 7,以Ai为原点，AiBi, AiCi , AiA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系 Ai — xyz,则 Ai(0,0,0), Bi(1,0,0), Ci(0,1,0), B(1,0,1), P(0,2,0).
1 1
(1)在厶 PAAi 中有 CiD = ?AAi，即 D 0, 1, 2 .
--AiB = (1,0,1), AiD = 0, 1, 2 ， BiP= ( — 1,2,0).
设平面BAiD的一个法向量为ni= (a, b, c),
ni AiB= a + c= 0,
则 T 1
ni AiD = b + ^c= 0.
1
令 c=— 1，则 n i = 1, 2,— 1 .
T 1
ni Bip= 1 x (— 1) + ^x 2+ (— 1)x 0= 0,
1
⑵由⑴知，平面 BAiD的一个法向量 ni= 1, 2，— 1
又n2= (1,0,0)为平面AAiD的一个法向量，
二 cos〈 n1, n 2〉：
n 1 n2 1 2
旷1x厂
2
故二面角A— A1D — B的平面角的余弦值为3.
11、［2011天津卷］如图1 — 7,在四棱锥 P— ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ ADC =
45 ° AD = AC = 1, O为AC的中点，PO丄平面 ABCD , PO= 2, M为PD的中点.
证明PB //平面ACM ;
证明AD丄平面FAC;
⑶求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
图1 — 7
课标文数17.G12［2011天津卷］
图1 — 8
【解答】(1)证明：连接BD , MO.在平行四边形 ABCD中，因为O为AC的中点，所以
O为BD的中点.又 M为PD的中点，所以 PB // MO.因为PB?平面 ACM , MO?平面ACM , 所以PB //平面ACM.
证明：因为/ ADC = 45 °且 AD = AC= 1,所以/ DAC = 90 °即AD丄AC又 PO丄平 面ABCD , AD?平面ABCD，所以PO丄AD?而ACA PO = O,所以 AD丄平面FAC.
1
取DO中点N,连接 MN , AN.因为M为PD的中点，所以 MN // PO,且 MN二三卩。=
1.由PO丄平面 ABCD，得MN丄平面 ABCD，所以/ MAN是直线 AM与平面 ABCD所成的角.在
1 \T5 1 y［5
Rt△ DAO 中，AD = 1, AO = ?,所以 DO = $.从而 AN = -DO =才.在 RtAANM 中，tan/MAN =MN = 1 =字，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为牛5
AN _5 5 5
4