人大附中?2019-2020?学年度高三数学?6?月质量检测题
人大附中?2019-2020?学年度高三?6?月统一练习题
数 学
命题人：侯立伟?唐庚?王鼎 审题人：于金华 2020?年?06?月?27?日
本试卷共?5?页，150?分。考试时长?120?分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效.
第一部分（选择题 共?40?分）
一、选择题共?10?小题，每小题?4?分，共?40?分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1.集合
1.集合?P?3,?loga?，?Q?a,?b?，若?P
Q?0?，则?P?Q（?）
A.0,3?
B.0,2,3
C.0,1,3?
D.0,1,2,3?
2.若复数?z
2
13i?，则?z（
）
A. 1
2
B.3
2
C.?1
D.?2
12?
1
2?3
3 5 ,?clog
?3.?已知?a?5?,?b
?
A．?abc B．?cba
2
3?5
，则（）
C．?bcaD．?cab
4.?已知函数?f?(?x)?的图象沿?x?轴向左平移?2?个单位后与函数?y2x?的图象关于?x?轴对称，若
f?(x?)?1?，则?x?=?（ ）
0 0
A．2 B．?2 C．log
2
3?D．?log
2
3
5.?为了解某年级?400?名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取?8?名女生进行五十跑测
试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所
示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为?9.4?秒）的人数为（ ）
7
8
9
8
6?1?8
1?5?7?8
A.150 B.250
C.200
1
D.50
”是“函数?fx
”是“函数?fxsin(2x )(xR)?与函数?gxcos(2?x+)(?xR)?为同一
?
6
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?
3
函数”的（ ）
A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
n（n
n（nN?*?)?的最小值为（ ）
25 B．4
9 C．1
（ ）
A．6 B．12
C．24 D．36
8.等比数列{an}中?a1＝1，且?4a1，2a2，a3?成等差数列，则
A．?16
2
a
n
3
3
4
正视图?侧视图
俯视图
D．?1
9.?如图，四个棱长为?1?的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧
棱?，(=?1,2,,8) 是上底面上其余的八个点，则集合
i
i 8中的元素个数()
y?yABAP?,?i1,2,3,
A.?1
C.?4
B.?2
D.?8
反射光相对探测光会发生频移?f
反射光相对探测光会发生频移?f? ，其中?v?为测速仪测得被
复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均
分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物
体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，
2v?sin
p ?
测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，
如图.若激光测速仪安装在距离高铁?1?m?处，发出的激光波长为?1600
nm?(?1nm10?9?m?)，测得某时刻频移为8.0109(1/h)，则该时刻高铁
的速度?v?约等于
2
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A.320?km/h B.330?km/h
C.340?km/h D.350?km/h
第二部分 （非选择题 共?110?分）
二、填空题共?5?小题，每小题?5?分，共?25?分.
11.抛物线?yx2的焦点到准线的距离是
1
12.?二项式?(?x2)5?的展开式中含?x?4?的项的系数是 （用数字作答）．
x
13.?已知关于?x?的不等式?ax?22?x3a0?在0,2上有解，则实数?a?的取值范围为_______
14.在平面直角坐标系中，以双曲线
x2y2
?
a2?b2
1,(a0,?b0)?的右焦点为圆心，以实半轴?a
为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是
15.?在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的?9?个小球，将它们分别编号为?1，2，
3，…，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出?3?个小球．
甲说：我抽到了?8?号和?9?号小球；
乙说：我抽到了?8?号和?9?号小球；
丙说：我抽到了?2?号小球，没有抽到?8?号小球．
已知甲、乙、丙三人抽到的?3?个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.
给出下列四各结论：
①甲抽到的?3?个小球的编号之和一定为?15；
②乙有可能抽到了?2?号小球；
③丙有可能抽到了?8?号小球；
④3?号，5?号和?7?号小球一定被同一个人抽到．
其中，所有正确结论的序号是________________．
注：全部选对得?5?分，不选或有错选得?0?分，?其他得?3?分.
三、解答题共?6?小题，共?85?分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．（本小题满分?14?分）
在△ABC?中，?a3?，?b2?6?，______________.
求?c?的值．
从①B2A?，?②?sin?Bsin?2?A?，③?S
2?ABC3?15
2
，这三个条件中任选一个，补充在
上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3
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17.?（本小题满分?14?分）
如图，在多面体?ABCDEF?中，平面?ADEF平面?ABCD?．四边形?ADEF?为正方形，四边形
ABCD?为梯形，且?AD?//BC?，BAD90，?ABAD1?，?BC3?．
（Ⅰ）求证：?AFCD?；
（II）求直线?BF?与平面?CDE?所成角的正弦值.
FE
AD
B
C
18.?（本小题满分?14?分）
国家环境标准制定的空气质量指数（简称?AQI）与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量等 优 良 轻度污染 中?度?污 重度污染 严重污染
AQI?值范围 [0,50) [50，100 [100,150) [150,200) [200,300)
300?及以上
下表是由天气网获得的全国东西部各?6?个城市在某一个月内测到的数据的平均值：
西部城市
西安
合肥
克拉玛依
鄂尔多斯
巴彦淖尔
库尔勒
AQI?数值
108
90
37
56
61
456
东部城市
北京
金门
上海
苏州
天津
石家庄
AQI?数值
104
42
82
114
105
93
合计：808 合计：540
(Ⅰ)?从表中东部城市中任取一个?，空气质量为良的概率是多少？
(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取?3?个城市组织专家进行调研，
记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望．
（III）设东部城市的?AQI?数值的方差为?S?2?，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后?AQI?数
1
值的方差为?S?2?，判断?S?2?和?S?2?的大小.(只需写出结论)
2 1 2
n附：方差计算公式?S?2
n
n1xx2?.
n
i
i?1
4
1?a＞b＞0?的离心率是 ，过点?P（
1?a＞b＞0?的离心率是 ，过点?P（0，1）做斜率为?k?的直线?l，椭
椭圆E：?
19．（本小题满分?15?分）
已知函数?f?(?x)2?xm?（其中?m?为常数）．
e?x
（I）若?m0?且直线?ykx?与曲线?yf?(?x?)?相切，求实数?k?的值；
（II）若?yf?(?x?)?在?[1,2]?上的最大值为?2?，求?m?的值．
e2
20．（本小题满分?14?分）
x2 y?2 5
a?2 b2 3
圆?E?与直线?l?交于?A，B?两点，当直线?l?垂直于?y?轴时?AB3?3?．
（I）求椭圆?E?的方程；
（II）当?k?变化时，在?x?轴上是否存在点?M（m，0），使得△AMB?是以?AB?为底的等腰三角
形，若存在求出?m?的取值范围，若不存在说明理由．
21.?（本小题满分?14?分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是
整数的点）?A(n)?：?A?,?A?,?A?, ,?A?与?B(n)?：B?,?B?,?B?, ,?B?，其中?n3?，若同时满足：
1 2 3 n 1 2 3 n
①两点列的起点和终点分别相同；②线段?A?A
i i?1
则称?A(n)?与?B(n)?互为正交点列.
B?B?，其中?i1,2,3,?,?n1?，
i?i?1
（Ⅰ）试判断?A(3)?：?A?(0,2),?A
1 2
正交点列，并说明理由；
(3,0),?A?(5,2)?与?B(3)?：?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?是否互为
3?1?2?3
（Ⅱ）求证：?A(4)?：?A?(0,0),?A
1 2
(3,1),A?(6,0),?A?(9,1)不存在正交点列?B(4)?；
3?4
（Ⅲ）是否存在无正交点列?B(5)?的有序整数点列?A(5)?？并证明你的结论.
5
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参考答案和评分标准 2020.6.27
一、选择题（共?10?个小题，每小题?4?分，共?40?分）
题号
答案
1
C
2
C
3
D
4
B
5
B
6
A
7
B
8
D
9
A
10
A
二、填空题（本大题共?5?小题，每小题?5?分，共?25?分．请把结果填在答题纸中．）
题
号
1112131415
2
2 10? (,?3
3 （1，2）
案
1
)
①②④
注：15?题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得?5?分，不选或有错选得?0?分，
其他得?3?分
三、解答题共?6?小题，共?85?分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16．（本小题满分?14?分）
解：
如果选①：因为?a3?，?b2?6?，B2A?，
? ．………………3?分所以
? ．………………3?分
所以2sin?A?cos?A
．
2?6
sin?A 3
3?2?6
sin?Asin?2?A
故?cos?A
6
3
．……………………6?分
A(0,)?，?所以?sin?A1cos2?A 3?．
3
又因为B2A?，所以?cos?B2cos?2?A1
1
3
．………………9?分
所以?sin?B1cos2?B
2?2
3
．在△ABC?中，?sin?Csin(?AB)
sin?Acos?Bcos?Asin?B
5?3?．……………………12?分
9
所以?ca?sin?C5?．……………………14?分
sin?A
如果选②：因为?a3?，?b2?6?，?sin?Bsin?2?A?，
1
sin?B2sin?Acos?A?，由正弦定理得：……………………3?分
b2a?cos?A?．
故?cos?A 6?，……………………6?分
3
由余弦定理可得：?924c22c2?6
6
3
，………………9?分
c28c150?，解得?c5?或?3.……………………14?分
如果选③：?S
?ABC
3?15
2
，则?S
?ABC
3?151
=?ab?sin?C
22
则：?sin?C
10
4
，………………3?分
所以?cos?C?
6
4
.………………6?分
时，?c2a
时，?c2a2b22ab?cos?C9242326 15?，?c15?；
66
44
时，?c2a2?
时，?c2a2b22ab?cos?C924+2326 51?，?c51?.
6?6
4?4
……………………14?分
17.?（本小题满分?14?分）
解：（Ⅰ）证明：因为?ADEF?为正方形，
所以?AFAD?．……………………1?分
又因为平面?ADEF平面?ABCD?，………2?分
且平面?ADEF 平面?ABCDAD?，………3?分
AF平面?ADEF?．
所以?AF平面?ABCD?．………………4?分
CD平面?ABCD?．
所以?AFCD?．………………6?分
（II）由（Ⅰ）可知，?AF平面?ABCD?，
所以?AFAB?．又?AFAD?，BAD90，所以?AB,?AD,?AF?两两垂直．
分别以?AB,?AD,?AF?为?x?轴，?y?轴，?z?轴建立空间直角坐标系（如图）．…………8?分
因为?ABAD1?，?BC3?，
所以?A(0,0,0),?B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,1,0),?E(0,1,1),F?(0,0,1)?，
所以?BF(?1,0,1),DC(1,2,0),?DE(0,0,1)?．
2
z0.设平面?CDE?的一个法向量为?n(?x,?y,?z)?，
z0.
nDC0, x2?y0,
?
则 即 ……………………10?分
nDE0.
令?x2?，则?y?1?，
所以?n(2,1,0)?．…………………………12?分
设直线?BF?与平面?CDE?所成角为，
则?sin?|?cos?n,?BF||?2(?1)|
52
10
．………………14?分
5
PA?
PA2
解：
（Ⅰ）设事件?A?为”?从表中东部城市中任取一个，空气质量为良” 1?分
6?个东部地区空气质量为良的有上海，石家庄?2?个城市 --------3?分
1
? --------------------------------------4?分
6 3
（Ⅱ）“优”类城市有?2?个，“轻度污染”类城市有?4?个．4?分
根据题意的所有可能取值为：1,?2,?3?． ………………5?分
C1C?2 1
P(?1) 4 2 ,?P(?2)
C?3 5
6
C?2C1
4?2
C?3
6
3
5
，?P(?3)
C?3C?0
4?2
C?3
6
1
5
．…8?分
?的分布列为：
?
1?2?3
P
1
5
3
5
1
5
所以?E?1?
------------------------10?分
1?3?1
232?．………………11?分
5?5?5
2? ------------------14?分（III）?S?
2? ------------------14?分
1
2
2?x
2?xf?'(x)2e?x2?xex22?x
解：（I）?m0?时，?f?(?x)
3
2e?xe?xe?x---------------3?分
2
ex0?设切点为x0?,
ex0
?
?
2?x
0
，
e?x0则切线方程为?y2?x
e?x0
e?x0
22?x0xx
0
-----------------------------5?分
e?x0? e?x0?0,0点代入，2?x022?x0?x化简解得?
e?x0? e?x0
0 0
kf?0?2 ------------7?分
(II)法?1：?由题意知?f?(?x)
2
且存在?x0?使得?f?(?x0?)
e2
2?xm2
?
e?x?e2
在[1，2]上恒成立，-------------9?分
整理得?m2?x
2
e2
e?x
--------------------11?分
令?g?
令?gx2?x?2e?x?，则?m?为?gx在[1，2]上的最大值---------12?分
e2
g?x2
2
e2
e?x?，在[1，2]上单调递减，令?gx0x2
所以?gx0?在[1，2]上恒成立，当且仅当?g2?0 -------13?分
所以?gx?在[1，2]上单调递增，所以?gx?在[1，2]上的最大值为?g2?2
所以?m2 --------------------15?分
（法?2：?f′?x）＝ ， -----------------------8?分
（
①当?m+2≥4，即?m≥2?时，f′（x）＞0?在（1，2）上恒成立，
故?f（x）在（1，2）上单调递增，则?f（x）在[1，2]上的最大值为?f（2）＝
，
故?m＝2，满足?m≥2； ----------------------------------?10?分
②当?m+2≤2，即?m≤0?时，f′（x）＜0?在（1，2）上恒成立，
故?f（x）在（1，2）上单调递减，则?f（x）在[1，2]上的最大值为?f（1）＝ ，
故?m＝2﹣ ，不满足?m≤0，舍去；?------------------------12?分
③当?2＜m+2＜4，即?0＜m＜2?时，由?f′（x）＝0?可得?x＝
x 时，f′（x）＞0；当?x 时，f′（x）＜0，
4
．
故?f（x）的最大值为fm?2 m?2，即?即?f（x）在[1， ）上单调递增，在（ ，2]上单调递减，
故?f（x）的最大值为f
m?2 m?2，即
?
m2 m2m 2
? ?
2? ?
2
e?2 e?2
，?---?--14?分
所以，m＝2，不满足?0＜m＜2，舍去．
综上可知，m＝2． -----------------15?分
20．（本小题满分?14?分）
5 c b2
解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 ，所以 1
3 a a2
5?4
?，整理得?b2a2?．
3?9
x2 y2 33?
x2 y2 33? ?
,1，
故椭圆的方程为?a2
．由已知得椭圆过点
a ?2
?
所以27
4a 4a
所以椭圆的?E?方程为 1?．……………………5?分
4 2
9
9
? 1?，解得?a29?，
2 2
x2 y?2
9 4
（Ⅱ）由题意得直线?l?的方程为?ykx1?．………………6?分
设?Ax?,?y,?Bx?,?y
1 1 2 2
?，?AB?的中点?Cx?,?y
0?0
? ?由x2 y?2
? ?
由x2 y?2 消去?y?整理得49k?2x?218kx270?，
?
?
1
9 4
其中(18k)2427(49k?2?)432(3k?21)0?．
2? 49k?
2? 49k?2
1 2
18k
49k?2
,?x?x?
1?2
27
49k?2
，所以
xx9k
x1?2
0
，…………9?分
，
，∴点?C?的坐标为?C4? 9
，∴点?C?的坐标为?C
4? 9k 4 ?
．………………10?分
0 0
,
49k?249k?2?49k?2
假设在?x?轴存在点?Mm,0，使得AMB?是以?AB?为底的等腰三角形，
则点?Mm,0为线段?AB?的垂直平分线与?x?轴的交点．
yx①当?k0?时，则过点
yx
?
5
19k4
?
k?49k?249k?2
，
4? ．9k令?y0?，则得?xm
4? ．
9k
5k?5
49k?2
k
5
若?k0?，则?49k
k
?
55
?5
4?12?，∴m0?．………………11?分
2?9k12
k
5
若?k0?，则?4
k9k
5
4
?9k
k
5?5
12?，∴?0m?．………………12?分
12
②当?k0?时，则有?m0?．…………………………13?分
? 5? 5所以存在点?
? 5? 5
所以存在点?M?满足条件,且?m?的取值范围是
1212
解：
?
,
.……………………14?分
（Ⅰ）有序整点列?A?(0,2),?A
1 2
理由如下：
(3,0),?A?(5,2)?与?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?互为正交点列.
3?1?2?3
-------------------------1?分
由题设可知
B ?A?A(3,?2),?A?A(2,2)?,?B?B(2,3)，?B(3，?3)
B ?
1?2?2?3?1?2?2?3
因为
A?A?B?B0?,?A?A?B?B0
1?2?1?2?2?3?2?3
所以?A?AB?B?，A?AB?B?.
1 2 1 2 2 3 2 3
所以整点列?A?(0,2),?A?(3,0),?A?(5,2)?与?B?(0,2),?B?(2,5),?B?(5,2)?互为正交点列.
1 2 3 1 2 3
----------------------------4?分
A（Ⅱ）证明?：由题意可得 A?A(3,1),A?A(3,?1)，?A(3,1)，
A
1?2 2 3 3 4
设点列?B?,?B
1 2
,?B?,?B?是点列?A?,?A?,?A?,?A?的正交点列，
3?4?1?2?3?4
3?Z-+-=9 ① …………………………8?分B则可设?B?B(?1,3),?B?B
3?Z
-+-=9 ①
…………………………8?分
B
1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 2
因为?A?与B?,?A?与B?相同，所以有
1 1 4 4
1 2 3
3?1?+3?2?+3?3?=1?②
因为，，?Z?，方程②不成立，
1 2 3
所以有序整点列?A?(0,0),?A
1 2
(3,1),A?(6,0),?A?(9,1)不存在正交点列.----------10?分
3?4
6
（Ⅲ）存在无正交点列的整点列?A(5)?. -------------------------------------------11?分
i i当?n5?时，设?A?A
i i
(a?,?b?),?a?,?bZ,?其中?a?,b?是一对互质整数，?i1,2,3,4
i?i?i?i?i?i
若有序整点列?B?,?B
1 2
,?B?,?B?,?B?是点列?A?,?A?,?A?,?A?,?A?的正交点列,
3?4?5?1?2?3?4?5
?(?b
?(?b?,?a?),i1,2,3,4，由?AA
?B?B
i i?1
i?i?i?i?i1
4
i?=1
4
i?1
i?i+1
?b
?ba?,①
i?=1
得 ……………………13?分
ab?.? ②
? i?i i
i?1
4 4
i i i
i?=1 i?1
取?A?(0,0),?a?=3,i1,2,3,4?,?b2,b?1,b1,b?1
1 i 1 2 3 4
由于?B?,?B
1 2
,?B?,?B?,?B?是整点列，所以有Z?,?i1,2,3,4?.
3?4?5?i
等式②中左边是?3?的倍数，右边等于?1，等式不成立，
所以存在无正交点列的整点列?A(5)?. -------------------------------14?分
7