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2021届高考数学二轮复习重点练之概率与统计
（4）统计与统计案例
1.某中学有高中生1500人，初中生1000人.该校为了解学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中随机抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有30人，则的值为()
A.20 B.50 C.40 D.60
2.对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是()
甲：8121327243722202526
乙：9141311181920212123
A.甲的极差是29 B.甲的中位数是25
C.乙的众数是21 D.甲的平均数比乙的大
3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：
加工零件数/个
2
3
4
5
加工时长
26
49
54
根据上表可得回归方程，则实数为()
A.37.3 B.38 C.39 D.39.5
4.下表是鞋子的长度与对应码数的关系：
长度()
24
24.5
25
25.5
26
26.5
码数
38
39
40
41
42
43
已知人的身高与脚板长线性相关且回归直线方程为，若某人的身高为，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为()
A.40 B.41 C.42 D.43
5.某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
每年体检
每年未体检
合计
老年人
7
年轻人
6
合计
50
已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是()
A. B. C. D.
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()
A.200，20 B.100，20 C.200，10 D.100，10
7.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费(单位：万元)和销售额(单位：万元)进行统计，得到统计数据如下表：
广告费
2
3
4
5
6
销售额
29
41
50
59
71
由上表可得回归直线方程为，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额为()
A.101.2万元 B.108.8万元 C.111.2万元 D.118.2万元
8.如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民人数的频率分布直方图，现已知年龄在内的人数构成递减的等差数列，且年龄在内的频率为0.3，则由此频率分布直方图估计()
A.该小区20岁到45岁的居民年龄的平均数为32.5
B.该小区20岁到45岁的居民年龄的众数为32.25
C.该小区20岁到45岁的居民年龄的中位数为
D.该小区20岁到45岁的居民年龄在内的频率为0.15
9.为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
语文成绩优秀
语文成绩非优秀
总计
男生
10
20
30
女生
20
10
30
总计
30
30
60
下列说法正确的是()
A.有99.5%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
B.有99.9%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
C.有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系
D.没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系
10.某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6.据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为__________.
11.为了了解家庭月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为________千元.
12.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则至少有________的把握认为“学生的性别与是否支持该活动有关系”.
附表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
13.某工厂为研究某种产品产量(吨)与所需某种原材料(吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如表所示：(残差=真实值预测值)
3
4
5
6
2.5
3
4
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为.据此计算出在样本点处的残差为，则表中的值为______________.
14.一研学实践活动小组利用课余时间对某公司1至5月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价(单位：元)和月销售量(单位：百件)之间的关系如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
月销售单价/元
1.6
1.8
2
2.2
2.4
月销售量/百件
10
8
7
6
4
(1)根据1至5月份的数据，求出关于的回归方程；
(2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是1元/件，该产品的月销售单价应定为多少元，才能获得最大月利润?(注：利润=销售收入成本)
附：回归方程中.
参考数据：.
15.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图与表格.
(1)若频率分布直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
(2)根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?
不做眼保健操
坚持做眼保健操
近视
44
32
不近视
6
18
(3)在调查的100名学生中，按照分层抽样的方法在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，解得.故选B.
2.答案：B
解析：将甲、乙两组数据进行整理可知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A正确；甲中数据按从小到大的顺序排列后，中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为，故B错误；乙中数据出现次数最多的是21，所以众数是21，故C正确；甲中数据集中在20以上，乙中数据集中在10和20之间，所以甲的平均数大，故D正确.故选B.
3.答案：C
解析：根据题意可得，又回归直线过中心点，所以，解得.
4.答案：C
解析：将代入回归直线方程，解得，即脚板长约为，所以穿的鞋子的码数应为42.故选C.
5.答案：D
解析：由题意得，，所以，故选D.
6.答案：A
解析：由题意可得该地区共有中小学生10000名，故样本容量为，分层抽样知应抽取高中生的人数为，其中近视人数为，故选A.
7.答案：C
解析：由题意得，，
将点代入，解得，即，
所以当广告费为10万元时，销售额约为万元，故选C.
8.答案：C
解析：由题意可知年龄在内的频率分别为0.05，0.35，0.3.设年龄在内的频率分别为.因为已知年龄在内的人数构成递减的等差数列，所以相应的频率也成递减的等差数列，则有，又，所以，故选项D不正确；该小区20岁到45岁的居民年龄的平均数为，所以A不正确；根据众数和频率分布直方图的关系，可得该小区20岁到45岁的居民年龄的众数为27.5，故B不正确；由前面计算可知中位数在内，设中位数为，则，解得，所以C正确.故选C.
9.答案：C
解析：由题意可得，，所以有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系.故选C.
10.答案：
解析：由题意知，中、老年教师该项指标的均值为.则可估计该校中、老年教师该项指标的方差为
11.答案：1.7
解析：将代入，得，因此该家庭的月储蓄约为1.7千元.
12.答案：99%
解析：，结合题表中数据可得，至少有99%的把握认为“学生的性别与是否支持该活动有关系”.
13.答案：4.5
解析：由在样本点处的残差为，可得，则，解得，由题意可知，产量的平均数为，由线性回归方程过点，则，则，解得.
14.答案：(1).
，
，
回归方程为.
(2)设该产品的月利润为百元，
则，
.
当时，取得最大值，且，
该产品的月销售单价应定为2元，才能获得最大月利润.
15.答案：(1)由图可知，第一组的频数为3，第二组的频数为7，第三组的频数为27，所以后三组共有(人)，
又后三组的频数成等差数列，第四组的频数为24，
所以后三组的频数依次为24，21，18，
所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的人数约为.
(2)，
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
(3)调查的100名学生中不近视的有24人，从中抽取8人，由题意知这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，则的所有可能取值为0，1，2，
，
则的分布列为
0
1
2
故.