江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷
A.必做题部分
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分?请把答案填写在答题卡相应的位置上..
TOC \o "1-5" \h \z 已知集合 M={ — 1 , 1}, N ={x|1 < 2x W 4}，则 mDN= ▲ .
2 .已知射手甲射击一次，命中 9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2，命中7环
S— 0For I from 1 to 10 S ：— SEnd for
S— 0
For I from 1 to 10 S ：— S
End for
Print S
End
的概率为 ▲ .
设(1,2i)Z=3-4i (i 为虚数单位)，则 |z|= ▲ .
根据右图的算法，输出的结果是 ▲ .
某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法 (第4题)
抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了 85人，则该校的男生数应是 ▲ 人.
若’X2 -2x-3 0 ”是’X：：：a ”的必要不充分条件，则 a的最大值为 ▲ .
设a, b为空间的两条直线，a, B为空间的两个平面，给出下列命题：
(1 )若 a// a, a// 3 贝U all B； (2)若 a丄 a, a_L 贝U all B；
(3)若 a // a, b // a,贝U a // b; (4)若 a丄 a, b丄 a,贝U a // b.
上述命题中，所有真命题的序号是 ▲ .
2 2
&双曲线 —-y 1上一点M到它的右焦点的距离是 3,则点M的横坐标是 ▲ .
4 12
函数f x =sin「x ■ 3cos x R，又f(:J -_2 , f - = 0，且：「卩的最小值等于寸，则正 数?■的值为 ▲.
若圆C: (x -h)2 (y -1)2 =1在不等式x y 1 > 0所表示的平面区域内，则 h的最小值
为 ▲
在平面直角坐标系 xOy中，已知 A (0, — 1) , B (— 3, — 4)两点，若点 C在.AOB的平分线
上，且OC =寸10，则点C的坐标是 ▲ .
1
已知函数f(x) x3 x2 (2a -1)x a2 -a 1，若f (x) =0在(1, 3］上有解，则实数a的取值范
3
围为 ▲
13 .已知 f (x) =x2,g(x)=(丄)x - m,若对 一“〔-1,3 1, Tx?，b,2 1, f (x,) > g(x?)，则实数 m 的取
2
值范围是 ▲
14?已知等腰三角形腰上的中线长为 3，则该三角形的面积的最大值是 ▲ .
二、解答题：本大题共 6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
(本题满分14分)
已知向量 a, b 满足 |a|=2, |b|=1, |a— b|=2.
求a b的值；
求 |a+ b|的值.
(本题满分14分)
如图，已知□ ABCD，直线BC丄平面 ABE, F为CE的中点.
求证：直线AE//平面BDF ;
若.AEB =90'，求证：平面 BDF丄平面 BCE.
(本题满分15分)
如图，某市准备在道路 EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段 FBC，该曲线
段是函数y =Asin(?，x ?当 A 0^ 0 , x 1-4,0」时的图象，且图象的最高点为 B (— 1 ,2)。
赛道的中间部分为长? 3千米的直线跑道 CD ,且CD// EF。赛道的后一部分是以 0为圆心的一段
圆弧DE .
(1 )求的值和.DOE的大小；
（JK nV）(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE区域内建一个“矩形
（JK nV）
草坪”，矩形的一边在道路 EF 上, 一个顶点在半径 OD 上,
另外一个顶点P在圆弧DE上，且.POE -「求当“矩形 草坪”的面积取最大值时 二的值.
(本题满分15分)
2 2
如图，已知椭圆C：x y 1的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为F，直线I为椭圆的右准线,
16 12
N为I上一动点，且在x轴上方，直线 AN与椭圆交于点 M .
若AM=MN，求/ AMB的余弦值；
设过A, F , N三点的圆与y轴交于P, Q两点，当
线段PQ的中点坐标为(0, 9)时，求这个圆的方程.
(本题满分16分)
设f(x)是定义在［一1,1］上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于
设f(x)是定义在［一1,1］上的奇函数，函数
g(x) = In x「ax2.
求函数f (x)的解析式；
若对于区间 0,1 ］上任意的x，都有|f(x)|_1成立，求实数a的取值范围.
(本题满分16分)
已知数列:an ［为各项均为正的等比数列，其公比为 q.
当q =-时，在数列:a/?中：
2
最多有几项在1?100之间？
最多有几项是1?100之间的整数？
当q> 1时，在数列 角/中，最多有几项是100?1000之间的整数?
(参考数据：Ig3=0.477 , Ig2=0.301).
B ?附加题部分
【选做题】本题包括A , B, C, D共4小题，请从这4题中选做2小题。每小题10分，共20分.请
在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
A .选修4— 1:几何证明选讲
(第21-A题)锐角三角形 ABC内接于O O, / ABC=60 , / BAC=40，作0E丄
(第21-A题)
交劣弧AB于点E,连接EC,求/ OEC.
曲线Ci： x2 2y^1在矩阵m
曲线Ci： x2 2y^1在矩阵mJ1
0
的作用下变换为曲线
求C2的方程.
C.选修4 — 4:坐标系与参数方程
x =1 _cos ' x = 1 _2t
P为曲线G : .一 (二为参数)上一点，求它到直线 C2: (t为参数)距离
|y =si n y = 2
的最小值.
D .选修4— 5:不等式选讲
设 N *，求证：-.C 120, 9 : 40这三个时刻随机发出，且在 9 : 00发出的概率为",9 :
1
20, 9 : 40这三个时刻随机发出，且在 9 : 00发出的概率为",9 : 20发出的概率为1, 9 : 40发出
【必做题】本题满分 10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
用数学归纳法证明：
1 2 3 2 3 4 川 n (n 1) (n 2) =n(n 1)(n 2)(n 3) (n N*).
4
【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在 8 : 00, 8 : 20, 8 : 40这三个时刻随机发出，且在
111
8 : 00发出的概率为1, 8 : 20发出的概率为1, 8 : 40发出的概率为匚；第二班客车在 9 : 00, 9 :
4 2 4
2
2
1
的概率为4?两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计 8： 10到站?求:
(1 )请预测旅客乘到第一班客车的概率；
旅客候车时间的分布列；
旅客候车时间的数学期望.
南通市2011届高三第一次调研测试
数学参考答案
A.必做题部分、填空题:
A.
必做题部分
、
填空题:
本大题共
14小题，每小题5分
，共70分.
1.
{1}
2. 0.2
3. z = .5
4. 55 5. 690
6.
&
5
9. 1
10. .2-2
11
2
12.
-7 < a <1
1
13. m > -
14. 2
4
、
解答题:
本大题共
6小题，共90分.
15.(本题满分14分)
-1
.C -1,-3
7. (2), (4)
解: (1)由
解: (1)由 |a— b|=2,得 |a— b|2=a2-2abF2=4?1-2 ab=4 , /
(2) |a + b|2 二a2 2ab b^4 2 1 ^6 , ? |a + b| .
14分
16.(本题满分
16.(本题满分14分)
证明：(1)设ACQBD = G,连接FG .
由四边形ABCD为平行四边形，得 G是AC的中点.
又 F是EC中点，在厶 ACE中，FG// AE.
?/ AE 平面 BFD , FG?平面 BFD , ? AE //平面 BFD ;
n
(2) ^AEB AE _ BE .
6565
65
65
又直线 BC丄平面ABE , AE_BC ?
TOC \o "1-5" \h \z 又BCdBE=B，?直线AE _平面BCE ? 8分
由(1)知，FG // AE，?直线 FG _ 平面 BCE ? 10 分
又直线FG 平面DBF，?平面DBF丄平面BCE ? 14分
17.(本题满分15分)
解：(1)由条件，得A =2 , I =3
4
..十 2冗^ n
-T ，… ?
o 6
n 2 n
?曲线段FBC的解析式为y =2sin( —x -—) ?
6 3
当 x=0 时，y =0C = 3 .又 CD= 3 , . COD =n,即.DOE =n.
4 4
(2)由(1),可知 OD = ?
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P在弧DE上，故OP==6 ? 8分
设.POE =二,0「w二 “矩形草坪”的面积为
4
S =、6sin V .6 cos t1 - 6sin v - 6 sinvcosv-sin2?1
111^ = 6(—sin2二 一cos2v =3.2sin(2= n) -3 ? 13 分
2 2 2 4
?- 0 ：：： n，故当2二时，二=上时，S取得最大值. 15分
4 4 2 8
18.(本题满分15分)
解：(1)由已知， A(4,0), B(4,0), F(2,0)，直线 l 的方程为 x=8 ?
设 N (8, t) (t>0),因为 AM = MN，所以 M (4, - )?
2
由M在椭圆上，得t=6 .故所求的点 M的坐标为M (4, 3).
所以MA =(
所以
MA =(-6, -3),MB =(2, -3),
cos AMB 二冲B 3 _
|MA ||MB | <36+9 #4+9
(用余弦定理也可求得)
(2)设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F =0，将A, F, N三点坐标代入，得
1
116 —4D F =0, D =2,
?
? f (x)的值域为［a,；)与|f(x)|_1矛盾. 11分
19.724 2D F ^0, 二 E - -t ,I 2 | t64 +t +8D +Et +F =0, 『
19.
72
4 2D F ^0, 二 E - -t ,
I 2 | t
64 +t +8D +Et +F =0, 『__8
T 圆方程为 x2 y2 2x -(t 千乃-8 = 0，令 X = 0，得 y2 -(t ￥)y - 8 = 0 .…11 分
72 72、2
t+〒土J(t+〒)+32 设 P(0,y1),Q(0,y2)，则 ％、二一t t
2
由线段PQ的中点坐标为(0, 9),得yt +y2 =18 , t +空=18 .
t
此时所求圆的方程为 x2亠y2亠2x-18y -8=0 .
(本题用韦达定理也可解)
(2)(法二)由圆过点 A、F得圆心横坐标为一1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,
得圆心的纵坐标为 9,故圆心坐标为(一1 , 9).
易求得圆的半径为310 ,
所以，所求圆的方程为 (x 1)2 (y -9)2 =90 .
(本题满分
16分)
15分
11分
13分
15分
解: (1) g(x)的图象与f (x)的图象关于
解: (1)
f (x)的图象上任意一点 P(x, y)关于y轴对称的对称点 Q(-x, y)在g(x)的图象上.
当 x
当 x ?[―1,0)时，—x (0,1],
r r 2
则 f(x) =g(-x) =1 n( -x) -ax .
?/ f(x)
?/ f(x)为上的奇函数,
则 f(0) =0 .
当 x (0,1]
当 x (0,1]时，-x [-1,0),
f (x) = -f (_x) = _ln x ax2.
x ：：0),ln( -x) -ax2 (_1 w ?- f (x)
x ：：0),
I 2
-ln x ax (0 ：： x w 1).
(1)由已知,f (x)
(1)
由已知,
f (x)二—丄 2ax .
x
①若f (x) w 0在0,1 1恒成立，则
此时，a w丄，f (x)在(0,1］上单调递减，
2
(0,1],时,f (x) ：：;0 , f (x)单调递减,当x,1]时，
(0,1],
时,
f (x) ：：;0 , f (x)单调递减,
当x
,1]时，f(x) .0, f(x)单调递增,
f(X)min = f
-- In
a
2 Jin(2a) 1 .
2 2
1 1
②当 a 时，令 f(x) 2ax =0= x =
2 x
1 1 e
15分由 | f (x) 1，得一 ln(2 a) > 1 二 a
15分
2
16分综上所述，实数a的取值范围为a>e
16分
2
(本题满分16分)
解：(1)①不妨设a1 > 1,设数列\a^有n项在1和100之间，则a1(|)
解：(1)①不妨设a1 > 1,
设数列\a^有n项在1
和100之间，则
a1
(|)nl W 100.
3
所以，(?)
n-W100.
两边同取对数，得
(n — 1)
(lg3 — lg2)
< 2.解之，得 nW 12.37.
故n的最大值为12,
即数列
中，最多有12项在1和100之间.
②不妨设1 w a—：： a1
3
a1
2
(3)2 — a1 (-)nl w 100,其中 a1 , a1 3 ,
2 2 2
a1 g)2，…,
a1 (|)nl
n」
均为整数，所以 a1为2 的倍数.所以3 W 100，所以nW 5.
又因为16, 24, 36, 54, 81是满足题设要求的 5项.
10分所以，当q = 3时，最多有5项是1和100
10分
2
(2)设等比数列 1aq2?满足 100w a ：：：aq :::…：:：aqn」< 1000,
其中a,
其中a, aq,…，aqn1均为整数,
n，N ,q 1，显然，q必为有理数.
11分
设 q= 1, t >s> 1, t 与 s 互质,
s
因为aqnA=a(-)nA为整数，所以
s
a是sn‘的倍数.
12分
令t=s+1，于是数列满足 100 W av a ? v…v a ?(■
s
s +1
如果 s> 3,贝y 1000> a ? )2 >( q+1) n— 1 >4n— 1，所以 nW 5.
s
如果 s=1，则 1000> a -2n4 > 100 -2n^，所以，n w 4.
TOC \o "1-5" \h \z 如果 s=2，贝U 1000> a -（3）n- > 100?（？严，所以 n< 6. 13 分
2 2
另一方面，数列 128, 192, 288, 432, 648, 972满足题设条件的 6个数，
所以，当q > 1时，最多有6项是100至U 1000之间的整数. 16分
B ?附加题部分
【选做题】每小题 10分?共20分.
A ?选修4— 1:几何证明选讲
解： 连 OC . / ABC=60，/ BAC=40 ,二 / ACB=80 . 4 分
0E丄AB,「. E为AB的中点， BE和BC的度数均为 80 .
/ EOC=80 +80 =160 . 8 分
? / OEC=10 . 10 分
B .选修4— 2:矩阵与变换
解：设P（x,y）为曲线C2上任意一点，P （x , y ）为曲线x2 4xy 2y2 =1上与P对应的点，
则；2Y+F，即广 M+2y：n#）x-2y, 5 分
|[0 1. [y . |ly . y=y, .y
P是曲线C1上的点，? C2的方程（x-2y）2 ? y2 =1 . 10分
C.选修4 — 4:坐标系与参数方程
解：将曲线 G化成普通方程是（x-1）2 y^1，圆心是（1, 0）,
直线C2化成普通方程是 y -2 =0，则圆心到直线的距离为 2. 5分
?曲线G上点到直线的距离为 1,该点为（1, 1）. 10分
D .选修4— 5:不等式选讲
证明：由柯西不等式，得
（? C：：；哮C： ?山? C： ）2 < （1 1 ? "（C： ? C： ? |卄? C：） 5 分
=n（（什 1 L 4： ： 4 2.
山.C：』, ：（2~1） . 10 分
【必做题】本题满分 10分.
证明：（1 ）当n=1时，左边=1 2 3=6，右边=——2——3_ =6 =左边，
等式成立.
等式成立. 2分
(2)设当n二k(k ? N*)时，等式成立，
即 1 2 3 2 3 4 k (k 1) (k 2) =k(k—2)(k―3) . 4 分
4
则当n =k 1时，
左边=1 2 3 2 3 4 ((I k (k 1) (k 2) (k 1)(k 2)(k 3)
」(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)
4
丄 x i k 丄 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
TOC \o "1-5" \h \z =(k 1)(k 2)(k 3)( 1)二
4 4
(k 1)(k 1 1)(k 1 2)(k 13)
— 4 .
? n =k 1时，等式成立. 8分
10分由（1）、（ 2）可知，原等式对于任意 N*成立.
10分
【必做题】本题满分 10分.
解：（1）第一班若在8 : 20或8 : 40发出，则旅客能乘到，其概率为
1 1 3
P=2+4=4
（2）旅客候车时间的分布列为:
答：这旅客候车时间的数学期望是 30
答：这旅客候车时间的数学期望是 30分钟.
9分
10分
候车时间(分)
10
30
50
70
90
概率
1
1
1 1
-X-
1 1
-X-
1 1
-X-
2
4
4 4
4 2
4 4
(3 )候车时间的数学期望为
10X1 + 30x - + 50冷 + 70x1+ 90 x ￡
2 4 16 8 16
15 25 35 45
=5 + 亍+ 25+35+ ?=30-