考点测试?53 几何概型
1．设
1．设?x∈[0，π?]，则?sinx<的概率为( )
1
2
42A.
4
2
C.
1
6
1
3
1
B.
1
D.
解析 由?sinx<
解析 由?sinx<且?x∈[0，π?]，
π?5π ?
借助于正弦曲线可得?x∈?0，?∪? ，π，
6 1
1
2
6
66
π
×2
∴P＝ ＝?.
π?－0 3
2．有一杯?2?升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取?0.1?升水，则此小杯中含有
这个细菌的概率是( )
A．0.01
C．0.05
B．0.02
D．0.1
概率为?P＝
概率为?P＝ ＝ ＝0.05.
解析 试验的全部结果构成的区域体积为?2?升，所求事件的区域体积为?0.1?升，故所求
0.1 1
2 20
3．某人向一个半径为?6?的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是
随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于?2?的概率为( )
92A.
9
2
C.
1
13
1
4
1
B.
1
D.
解析 由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于?2
解析 由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于?2?的概率为?P＝
π?×62 9
π?×22 1
＝?.
4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为?30?秒，黄灯的时间为?5?秒，绿灯的时间为?40?秒，
当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
55A.
5
5
C.
1
5
3
5
2
B.
4
D.
解析 以时间的长短进行度量，故?
解析 以时间的长短进行度量，故?P＝ ＝.
30 2
75 5
5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为?3?的正方形将其包含在内，并向正方形内
随机投掷?600?个点，已知恰有?200?个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是
( )
A．4
C．2
B．3
D．1
形的面积比为，所以阴影部分的面积约为?
形的面积比为，所以阴影部分的面积约为?9×＝3.
解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方
1 1
3 3
6．如图所示，A?是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点?A′，连接?AA′，得到一条弦，
则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
B.?
B.?3
4
C.
1
2
1
3
2
1
D.
答案 C
解析 当?AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝ ，A′点在?A?点左右都可取得，故由π
解析 当?AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝ ，A′点在?A?点左右都可取得，故由
3
2π
3 1
几何概型的概率计算公式得?P＝ ＝?，故选?C.
2π 3
7．向等腰直角三角形?ABC(其中?AC＝BC)内任意投一点?M，则?AM?小于?AC?的概率为( )
A.?22 B
A.?2
2
2
4C.
4
π
8
π
D.
答案 D
S扇形ACDeq?\o\ac(△,S)ABCπ?·AC214解析 以?A?为圆心，AC?为半径画弧与?AB?
S扇形ACD
eq?\o\ac(△,S)ABC
π?·AC2
1
4
1
8 π
＝ .
AC2
2
8．在长为?12?cm?的线段?AB?上任取一点?C，现作一矩形，邻边长分别等于线段?AC，CB?的
长，则该矩形的面积大于?20?cm2?的概率为( )
34A.
3
4
C.
1
3
1
4
2
B.
3
D.
12 3
12 3
解析 不妨设矩形的长为?x?cm，则宽为(12－x)?cm，由?x(12－x)>20，解得?2<x<10，所
10－2 2
以该矩形的面积大于?20?cm2?的概率为 ＝?.
9．在棱长为?2?的正方体?ABCD－A1B1C1D1?中，点?O?为底面?ABCD?的中心，在正方体?ABCD－
A1B1C1D1?内随机取一点?P，则点?P?到点?O?的距离大于?1?的概率为( )
126A.
12
6
C.
π
12
π
6
π
B．1－
π
D．1－
答案 B
解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以?O?为球心，1?为半径且在正方体内部的半球的
31 4 1 4 2体积为：×π?r3＝××π?×1
3
1 4 1 4 2
体积为：×π?r3＝××π?×13＝π?，则点?P?到点?O?的距离大于?1?的概率为：1－ ＝1
12
π
2 3 2 3 3 8
π
－ .
10．一只昆虫在边长分别为?6,8,10?的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的
距离都大于?2?的概率为( )
1210π
12
10
A．1－
π
B．1－
24C.
24
π
6
π
D.
AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于?×6×8＝24.
AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于?×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角
2π
2
24? 12
解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC，且?AB＝6，BC＝8，CA＝10，则有?AB2＋BC2＝CA2，
1
2
A＋B＋C π
形任一顶点的距离小于?2?的区域的面积等于 ×π?×22＝ ×22＝2π?，因此所求的概
24－2π π
率等于 ＝1－ .
11．在长度为?3?的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于
1?的概率为( )
33A.
3
3
C.
1
2
1
4
1
B.
2
D.
答案 B
解析 在长度为?3?的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x，y,3－
x>0，
x－y，则?y>0，
3－x－y>0，
x>1，
而恰有两条线段的长度大于?1，则需满足?y>1，
0<3－x－y<1
或
x>1，
?0<y<1，
3－x－y>1
y>1，
或?0<x<1，
3－x－y>1.
作出可行域可知，恰有两条线段的长度大于?1?的概率为
2? 1
2? 1
P＝ ＝.
2
×1×1×3
1 3
×3×3
12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00?至?17：00，设甲在
当天?13：00?至?18：00?之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的
概率是________．
答案
4
5
表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率?P＝ ＝.解析
表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率?P＝ ＝.
坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”
4×8 4
5×8 5
二、高考小题
13．[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间
为?40?秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待?15?秒才出现绿灯的概率为( )
8D.?
8
D.3
C.
7
10
3
8
5
B.
10
根据几何概型的概率公式知所求事件的概率?P＝
根据几何概型的概率公式知所求事件的概率?P＝ ＝，故选?B.
解析 行人在红灯亮起的?25?秒内到达该路口，即满足至少需要等待?15?秒才出现绿灯，
25 5
40 8
1
14．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数?x，y，记?p1?为事件“x＋y≤2”的概
1
率，p2?为事件“xy≤2”的概率，则( )
1
A．p1<p2<2
1
C．p2<2<p1
答案 B
解析 设点?P?的坐标为(x，y)，
1
B．p1<2<p2
1
D.2<p2<p1
画出直线?x＋y＝与正方形交于?D，E?两点，画出曲线?xy＝与正方形交于?M，N?两点．而?eq?\o\ac(△,Rt) OAC?的面积?S＝. 1?
画出直线?x＋y＝与正方形交于?D，E?两点，
画出曲线?xy＝与正方形交于?M，N?两点．
而?eq?\o\ac(△,Rt) OAC?的面积?S＝.
1?
15．[2015·山东高考?]在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log?1x＋
所以点?P?在正方形?OABC?内，S?正方形?OABC＝1×1＝1.
1
2
1
2
1
2
由图可知：eq?\o\ac(△,S)?OED<eq?\o\ac(△,S)?OAC<S?曲边形?OCMNA，
1
所以?p1<2<p2.故选?B.
? 2?
2
≤1”发生的概率为( )
34A.
3
4
C.
3
4
1
3
2
B.
1
D.
1
1 1? 1 1? 1
解析 由－1≤log1x＋≤1，得?log12≤log1x＋≤log1? ，所以≤x＋≤2，
2
所以?0≤x≤.由几何概型可知，事件发生的概率为 ＝.
? 2? ? 2? 2 2 2
2 2 2 2
3
－0
3 3
2 2－0 4
16．[2015·陕西高考]设复数?z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则?y≥x?的概率为
( )
4 2π2 π
4 2π
2 π
4 2π
2 π
A.?＋
1 1
C.?－
11
B.?＋
11
D.?－
答案 C
解析 ∵|z|＝ x－
2＋y2≤1,?∴(x－1)2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆
4 2
4 2 1 1
－
1心，?为半径的圆面，如图所示，而?y≥x?所表示的区域如图中阴影部分，故?P＝ ＝?－ .
1
π 4 2π
17．[2015·福建高考]如图，矩形?ABCD?中，点?A?在?x?轴上，点?B?的坐标为(1,0)，且点
x＋1，x≥0，
C?与点?D?在函数?f(x)＝? 1
－2x＋1，x<0
取自阴影部分的概率等于( )
的图象上．若在矩形?ABCD?内随机取一点，则此点
42A.
4
2
C.
1
6
3
8
1
B.
1
D.
答案 B
∴由几何概型概率计算公式可得所求概率?P＝＝.故选?B.答案 9解析 如图，设?f(x)与?y?轴的交点为?E
∴由几何概型概率计算公式可得所求概率?P＝＝.故选?B.
答案 9
∵B(1,0)，∴yC＝1＋1＝2.
∴C(1,2)．又四边形?ABCD?是矩形，
∴D(－2,2)．
1 3
∴eq?\o\ac(△,S)?DCE＝2×[1－(－2)]×1＝2.又?S?矩形＝3×2＝6，
3
2 1
6 4
18．[2014·重庆高考]某校早上?8：00?开始上课，假设该校学生小张与小王在早上?7：
30～7：50?之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早?5
分钟到校的概率为________．(用数字作答)
32
30≤x≤50，
解析 设小张和小王到校的时间分别为?x?和?y，则?30≤y≤50，
y－x≥5，
则满足条件的区域
2? 9P＝ ＝? .19．[2017·山西四校联考]在面积为?S?的△ABC?内部任取一点，则eq?\o\ac(△
2? 9
P＝ ＝? .
19．[2017·山西四校联考]在面积为?S?的△ABC?内部任取一点，则eq?\o\ac(△,P) PBC?的面积大于的
故所求概率
1
×15×15
20×20 32
三、模拟小题
S
4
概率为( )
4D.?
4
D.9
C.
1
4
4
9
3
B.
16
答案 D
解析 设?AB
解析 设?AB、AC?上分别有点?D、E?满足?AD＝AB?且?AE＝ ，则eq?\o\ac(△,AC) ADE∽△ABC，DE∥BC
且?DE＝BC.∵点?A?到?DE?的距离等于点?A?到?BC?的距离的，∴DE?到?BC?的距离等于△ABC?高的
4 4
3 3
4 4
1
4
.当动点?P?在△ADE?内时，P?到?BC?的距离大于?DE?到?BC?的距离，∴当?P?在△ADE?内部运动时，
4? eq?\o\ac(△,S)ABC
4? eq?\o\ac(△,S)ABC?4 16
△PBC?的面积大于?，∴所求概率为eq?\o\ac(△,S)?ADE＝2＝ ，故选?D.
20．[2017·安庆质检]在区间[0,1]上随机取两个数?m、n，则关于?x?的一元二次方程?x2
－?nx＋m＝0?有实数根的概率为( )
75A.
7
5
C.
1
8
1
6
1
B.
1
D.
答案 A
解析 ∵方程?x2?－?nx?＋?m＝?0?有实数根，∴?Δ?＝?n－?4m≥0，如图，易知不等式组
S阴影? 2 4
S阴影? 2 4
S正方形 1×1
?0≤m≤1，
0≤n≤1
1?1
×?×1
表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即?P＝＝
81
8
＝?.
21．[2017·银川一中月考]甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先
到达者等?10?分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是?8：30?到达，假设乙在?8：00～9：00
之间到达，且乙在?8：00～9：00?之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )
42A.
4
2
C.
1
6
1
3
1
B.
1
D.
60－0
60－0 3
解析 由题意知?，若以?8：00?为起点，则乙在?8：00～9：00?之间到达这一事件对应的
集合是?Ω?＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是?A＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面
40－20 1
的概率是 ＝?.
22．[2016·福建莆田模拟]任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第
二个正方形，依此类推，这样一共画了?4?个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则
所投点落在第四个正方形中的概率是( )
A.?244
A.?2
4
1
B.
D.?
D.1
1
8
16
解析 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的?
解析 依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的2
4
倍，所以第四个正方
81
8
形的面积是第一个正方形面积的?倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为
1
8
，故选?C.
23．[2017·鞍山模拟]设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的
边长都是?4?3?cm，现将直径为?2?cm?的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共
点的概率为________．
答案
1
4
443－23＝2
4
43－23＝23(cm)，由几何概型的概率计算公式得?P(A)＝? 1.
3
4
等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为?1?cm，则小等边三角形的边长为
3
3 2
4
3 2
24．[2016·正定月考]如图，在等腰直角三角形?ABC?中，过直角顶点?C?作射线?CM?交?AB
于?M，则使得?AM?小于?AC?的概率为________．
答案
3
4
解析 当?AM＝AC时，△ACM为以∠A?为顶点的等腰三角形，∠ACM＝
解析 当?AM＝AC时，△ACM为以∠A?为顶点的等腰三角形，∠ACM＝ ＝67.5°.
所以?AM?小于?AC?的概率?P＝?∠ACM的度数＝67.5°＝3.
2
当∠ACM<67.5°时，AM<AC，
∠ACB的度数 90° 4
y
y≤ 4－?x2?
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
? y≥0， ?
1．[2016·邢台模拟]已知?Ω?＝? x，y ?
?
，直线?y＝mx＋2m?和曲
A?落在区域?M?内的概率为?P(M)，若?P(M)∈
A?落在区域?M?内的概率为?P(M)，若?P(M)∈π?－2，1?，求实数?m?的取值范围．
?
2π ?
时，它们围成的平面区域为?M，此时?P(M)＝? ，当直线与?x
时，它们围成的平面区域为?M，此时?P(M)＝? ，当直线与?x?轴重合时，P(M)＝1，∴直线
π?－2
2π
斜率范围为[0,1]．
2．[2017·湖北荆州模拟]甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼
夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为?1?h，乙船停泊时间为?2?h，求它们
中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
解 这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为?x?与?y，事件?A?为
“两船都不需要等待码头空出”，则?0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，
当且仅当甲比乙早到达?1?h?以上或乙比甲早到达?2?h?以上，即?y－x≥1?或?x－y≥2.故所求事
件构成集合?A＝{(x，y)|y－x≥1?或?x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A?为图中阴影部分，全部结果构成集合?Ω?为边长是?24?的正方形及其内部，所求概率为
A的面积
P(A)＝
Ω?的面积
22 1013
2
2 1013
1152
－
1
2×?＋
242
－
1
2×
＝.
xx－，x＋，x＋，4x－，
x
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称?f(x)和?g(x)是“友好函数”，设?f(x)＝ax，g(x)＝
b
.
(1)若?a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求?f(x)和?g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若?a∈[1,4]，b∈[1,4]，求?f(x)和?g(x)是“友好函数”的概率．
解 (1)设事件?A?表示?f(x)和?g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：
1 1 4 1 1 4
x x x x x x
共?6?种且每种情况被取到的可能性相同．
又当?a>0，b>0?时，
x?a
x?
a ?
a ?
ax＋?在?0，
b?
?上递减，在?
b
，＋∞?上递增；
x－和?4
x－和?4x－在(0，＋∞)上递增，
∴对?x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8?恒成立的有?x－，x＋，x＋，4x－，
∴P(A)＝＝，故所求概率是.
x x
1 1 4 1
x x x x
故事件?A?包含的基本事件有?4?种，
4 2 2
6 3 3
(2)设事件?B?表示?f(x)和?g(x)是“友好函数”，
∵a?是从区间[1,4]中任取的数，b?是从区间[1,4]中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为?3，宽为?3?的矩形区域．
需?f(1)＋g(1)＝a＋b≤8?且?f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，
需?f(1)＋g(1)＝a＋b≤8?且?f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，
b
2
1 11?4
1 11?
4
2 19
∴P(B)＝ ＝? ，
24
×?2＋×3
3×3 24
19
故所求概率是 .