五年级
序号
主题
课时数
第一单元
乘法原理
3 课时
第二单元
加法原理
3 课时
第三单元
流水行船问题
3 课时
第四单元
消去问题
3 课时
第五单元
速算技巧
3 课时
第六单元
列方程解应用题
3 课时
第七单元
平均数问题
3 课时
第八单元
假设法
3 课时
第九单元
分解质因数
3 课时
第十单元
最大公约数和最小公倍数
3 课时
第十一单元
3 课时
第十二单元
3 课时
每单元教学目标和建议
第 1 单元《乘法原理》
、知识技能
1）理解什么是乘法原理。
2）会用乘法原理解决生活问题。
、方法过程
第二步有 M2 种不同方法 做第 n 步有 Mn 种不同方法。那么完成这件事一共有
n=M1 ×M2 × Mn 种方法。
（ 2）感受生活中的问题与乘法原理的联系，并能灵活的解决生活问题。
、情感态度
1）体会用乘法原理解题的便捷性，增强对数学的好奇心与求知欲。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。第一课时乘法原理（ - ）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。第二课时乘法原理（二）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主
检测。第三课时乘法原理（三）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，要首先让学生知道完成一件事情如果需要分成两
个步骤，求完成这件事情的方法总数时， 我们除了用枚举法外， 还可以用第一步的方法乘第二步的方法数求的。
在第二课时的教学时， 让学生知道， 做一件事情如果分成三个步骤， 也可以用乘法原理解决。
在第三课时的教学时， 当确定求完成一件事情的方法总数用乘法原理来解答以后， 要弄清每一步的方法数到底是多少，特别是有些方法数是有所限制的，此时，要根据实际情况来解题。
第 2 单元《加法原理》
、知识技能
1）理解什么是乘法原理。
2）会用乘法原理解决生活问题。
、方法过程
（ 1）引导学生理解做一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同方法，在第二
类办法中有 M2 种不同方法 在第 n 类办法中有 Mn 种不同方法。那么完成这件事一共
n=M1+M2+Mn 种方法。
2）感受生活中的问题与加法原理的联系，并能灵活的解决生活问题。
、情感态度
1）体会用乘法原理解题的便捷性，增强对数学的好奇心与求知欲。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。第一课时加法原理（ - ）的例 1 和例
2，完成课后的自主检测。第二课时加法原理（二）的例
1 和例
2 ，完成课后的
自主检测。第三课时加法原理（三）的例
1 和例
2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，看出：（
1）使用加法原理时注意，选用任何一
类办法中的任何一种方法时都能完成这件事，即完成一件事的各种方法是独立
的。（ 2）根据问题的特点，合理的确定一个分类的标准，在此标准下每一种完
成此事的方法属于各类中的一种且仅属于其中的一种。 在第二课时的教学时， 能
看出数几何图形的个数时，首先根据要求分类，做到不重复，不遗漏，按顺序数
出图形的个数。
在第三课时的教学时， 让学生知道解答稍复杂的可以用加法原理
解答的题目，可先从简单的入手，找出规律，类推答案。
第 3 单元《流水行船问题》
、知识技能
1）理解船在有（无）水流速度情况下行驶的问题。
2）正确说出数量关系，掌握解题方法。
、方法过程
（ 1）引导学生理解并推导出流水行船问题的 4 个基本公式。
2）感受各种情况下如何求水速、船速、两船相遇时间、两船追及时间等方法，能灵活选择相应的策略。
3 、情感态度
（ 1）体会流水行船问题乐趣，激发学习数学的积极性。
教学建议：
1、这部分内容可以用
3 课时进行教学。第一课时流水行船问题（
- ）的例
1 和
例 2 ，完成课后的自主检测。第二课时流水行船问题（二）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。第三课时流水行船问题（三）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主
检测。
2、在第一课时的教学时，让学生理解掌握顺水速度，逆水速度，船速和水
速。在第二课时的教学时， 让学生知道， 一些漂流物从上游漂流下来的速度其实
是水速，并且当两航行物行驶于同一河道时， 水速是不变的。
根据各自的逆水速
静水速，顺水速等，借助于水速，就可以求出相应的其他量。在第三课时的教学
时，要知道两船 在水中的相遇问题与静水中的以及两车在陆地上相遇问题一样，
相遇时间只与路程与静水速度和有关，与水速没有关系，要求两船的相遇时间，
只要用两船行驶的总路程除以两船在静水中的速度和就可以了。 两船的追击问题
也和陆地上的追击问题一样。
第 4 单元《消去问题》
、知识技能
1）会比较条件，分析对应的数量变化情况。
2）正确判断消去其中那个量，掌握“消去法” 解题。
、方法过程
1）引导学生分析题意，消去其中一个相同的未知数量，得出只含一个未知数量的等量关系式。
2）能把数量关系较复杂的题目转化成简单的问题用消去法解答出来。
、情感态度
1）为解决稍复杂的应用题奠定基础，获得成功体验，树立学习数学的信心。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。第一课时消去问题（ - ）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。第二课时消去问题（二）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主检测。第三课时消去问题（三）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，让学生看出当题中有两个未知量，且其中一个未
知量的数量相同时， 要仔细分析题意， 根据题中提供的已知条件， 消去其中的一个数量相同的未知量， 得出一道只含有一个未知量的等量关系式， 从而依次求出要求的两个未知量， 如果两未知量都不相同， 并存在倍数关系， 可以设法使其中一个未知量相同， 而消去其中一个未知量， 从而使问题得以解决。
在第二课时的教学时，让学生知道， 已知的两个未知量都不相同， 且他们之间也不存在倍数关系，可把两组条件中相应的数量分别扩大若干倍， 使得其中的一个数量相同， 然后消去相同的数量， 求出另外一个量。
在第三课时的教学时， 让学生看出当题中两未知数量各不相同， 又不存在倍数关系， 可设法使一个未知量相同， 还可以把两组条件的数量相加。如：例题先设法求出 1 千克的青豆和 1 千克的菠菜所需元数，再根据具体情况分别求出两未知量。
3、做题时，要先布列出条件，将条件变化，再列式解答。
第 5 单元《速算技巧》
、知识技能
1）观察发现数的特征。
2）研究通过“凑整”“拆数”等方法进行简便计算和速算。
、方法过程
1）引导学生审题时要善于观察并根据题目中数的特征选用合适的巧算方法。
2）参与探讨过程，适时改变运算顺序，运算定律，运算性质等感受速算技巧。
、情感态度
1）积极参与小组合作，在体验中获取学习信心。
在教师同学的帮助下 ,努力克服困难 .
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。第一课时速算技巧（ - ）的例 1 和例 2，
完成课后的自主检测。第二课时速算技巧（二）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主
检测。第三课时速算技巧（三）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，要首先让学生观察数的特征，运用合理的方法，以一个数为标准， 进行简算。如几个加数大小接近， 可以以一个大小比较接近的数做相同加数进行简算。
如几个乘式相加， 可运用乘法分配律简算。
在第二课时的教学时，让学生注意观察算式中的数字特征、 运算符号、 小数点的位置等熟练
运用运算定律、性质对题目进行变形，使计算变形。第三课时的教学 ,是乘除法简便计算。在乘法中，如果有一个因数是 125 ，25 ， 5，而另一个因数设法分解出和这几个数相乘得整数的数再运用乘法交换律， 结合律分配律进行简算。
在除
法中，可运用商不变的规律进行简算。
第 6 单元《列方程解应用题》
、知识技能
1）理解题意，正确设立未知数，找出等量关系，建立方程。
2）会用列方程的方法解答应用题。
、方法过程
1）引导学生理解题意，找出题中数量间的关系，根据数量关系列方程。
2）感受用方程解题的便捷性。
、情感态度
1）感受数学与日常生活的联系，不断增强学数学用数学的自觉性。
为六年级的列方程解题学习分散难点，增强学习信心。
教学建议：
1、这部分内容可以用
3 课时进行教学。第一课时列方程解应用题（
- ）的例
1
和例 2 ，完成课后的自主检测。第二课时列方程解应用题（二）的例完成课后的自主检测。第三课时列方程解应用题（三）的例 1 和例
1 和例 2 ，
2 ，完成课后
的自主检测。
2、在第一课时的教学时，要首先让学生仔细审题，当题中的两个已知条件
都是反映两个未知量之间的关系时， 我们可以以其中的一个已知条件来解设， 以另一个已知条件作为等量关系式来列方程， 从而求出两个未知数量。
在第二课时的教学时，让学生知道， 所求的未知数量如果有两个或两个以上， 并且知道这些
未知数之间的关系。解题时，必须视具体情况，用含 X 的式子来表示其他的未知数，然后根据等量关系式列出方程。第三课时的教学，可以看出，当其中的量
是变量，且已知变化前后两个量之间的关系时， 如题中存在两道等量关系式， 我们要根据具体情况设 X，依据数量关系列方程解答。。
第 7 单元《平均数问题》
、知识技能
1）正确理解题意，找出总数量和总份数。
2）会求平均数。平均数 = 总数量÷总份数。
、方法过程
1）引导学生不断探索，不断发现，灵活运用条件，用找“标准数“等方法求平均数。
2）展开大胆猜测和想象，寻求巧妙方法。
、情感态度
1）在探讨过程中，培养观察力，思维能力。。
感受数学与日常生活的联系，用数学知识解决生活问题。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。
第一课时平均数问题 （ - ）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主检测。第二课时平均数问题（二）的例 1 和例 2 ，完成课后的自
主检测。第三课时平均数问题（三）的例
1 和例
2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，让学生学会用标准数球平均数，他的优点：对于
一些数据较大，计算较复杂的求平均数问题，可把整的部分放一边，把“零头”
部分进行求平均数， 从而使计算简化。
。第二课时的教学， 是求几个数的平均数，可以设定一个标准数， 求其他数与标准数的差， 再求这些差的平均值， 最后加上标准数。在第三课时的教学时，从例 1 可以看出，有些看似常规的题目，其实也有巧妙的方法，要注意吸收。从例 2 可以看出，求个别数也可以从交叠中解出，要注意体会。
第 8 单元《假设法》
、知识技能
1）理解数量关系，正确假设，将条件和问题进行转换，简化题意。
2）学会用假设法正确解题。
、方法过程
1）让学生经历假设法的探究过程。
2）学会先假设，把问题进行简化，得到不符合条件的结果后，再作调整，解出原来的问题。
、情感态度
1）体验转化思想的广泛用途。
感知数学知识在生活中的应用。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。第一课时假设法（ - ）的例 1 和例 2，完
成课后的自主检测。
第二课时假设法 （二）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。
第三课时假设法（三）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。
2、在第一课时的教学时，要让学生学会解题的基本方法：先假设，把问题
进行简化，得到不符合条件的结果后，再调整，解出原来的问题。第二课时的教
学不仅运用了假设的方法， 而且在假设的时候非常注意假设的合理程度， 巧妙与
否，其中渗透了比较的数学思想。在第三课时的教学时，教给学生解题关键：从
问题中的条件出发， 先假设一种可能是成立的， 然后联系问题中的其他关系， 顺
应而下，及时调整假设，直至推导出正确的结果。
第 9 单元《分解质因数》
、知识技能
1）理解用分解质因数的方法解决有关数学问题。
2）灵活分析题目，掌握用分解质因数的方法解题的策略。
、方法过程
1）让学生经历一些数学问题，常常把一个数先分解质因数，以便研究已知数和未知数关系，使问题迎刃而解。
2）感受数量关系同分解质因数的联系，灵活掌握其方法。
、情感态度
1）小组能积极参与活动，感受数学知识和方法的价值。
体验生活化数学的乐趣。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。
第一课时分解质因数 （ - ）的例 1 和例 2 ，
完成课后的自主检测。第二课时分解质因数（二）的例
1 和例
2 ，完成课后的自
主检测。第三课时分解质因数（三）的例
1 和例
2，完成课后的自主检测。
2、第一课时的教学，通过分解质因数，找到已知数和未知数之间的关系，
使问题得到解决。
要在第二课时的教学时， 让学生知道， 两个非零整数和他们的
最大公因数，最小公倍数有这样的关系：（ A,B ）×[A,B]=A ×B。在第三课时的
教学时，解决这两个例题的关键从问题和条件出发， 把问题情境转化的实质就是
分解质因数。记住“ 2 是唯一的偶数质数”。
第 10 单元《最大公因数最小公倍数》
、知识技能
1）理解题意，会用求两个数最大公因数和最小公倍数的的方法解决实际问题。
2）会对问题作正确的理解，确定解决问题的方案。
、方法过程
1）引导学生理清题意，分析要求的数是处于被除数还是除数的位置，判断是求最大公因数还是最小公倍数。
2）能灵活选择相应的解题方法。
、情感态度
1）感受生活问题的巧妙解答，对数学学习产生兴趣。
通过小组合作学习，让所有学生树立学习信心。
教学建议：
1、这部分内容可以用 3 课时进行教学。
第一课时最大公因数最小公倍数（ - ）的例 1 和例 2，完成课后的自主检测。第二课时最大公因数最小公倍数（二）的例
1 和例 2 ，完成课后的自主检测。第三课时最大公因数最小公倍数（三）的例 1 和例 2 ，完成课后的自主检测。
2、第一课时的教学关键要分析题意，对问题所问作出正确理解，确定解决
问题的方案。如果要求的问题，对已知条件来说，处于除数的位置，一般求公因数或最大公因数。，在第二课时的教学时，让学生知道，如果要求的问题，对已
知条件来说， 处于被除数的位置， 一般求公倍数或最小公倍数。
判断求最大公因数或最小公倍数是首要的问题。
在第三课时的教学时， 记住并灵活的运用 （A,B） ×[A,B]=A ×B 此公式非常有用。
乘法原理（第一讲）
教学内容：教材第 36— 37 页例题及练习。
教学目的：通过例题的讲解，使学生初步理解什么是乘法原理。并能通过乘法原理进行解题。
教学重点：能理解乘法原理，并运用乘法原理解题。
教学难点：能理解什么是乘法原理及乘法原理的公式。
教学方法：讲授法，练习法，讨论法
教学准备：习题纸，小黑板
教学过程：
一、新授知识。
师：在日常生活中我们常常会遇到这样一些问题，在做一件事时，我们不可能一步成功，要有几个步骤才能完成，每个步骤又有不同方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就
要用到乘法原理来解决。
乘法原理是我们学习排列组合知识的一块奠基石， 要掌握这种方法，首先要记住几个要点：乘法分布，步步相关，缺一不可，步步相乘。（板书）
让我们先看下面几个问题。
1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配
分析与解： 由下图可以看出，帽子和鞋共有
6 种
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有 3 种方法；第二步穿鞋，有
种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有
3×2＝ 6（种）。
试一试：
桌子上放有 7 本不同的故事书和 5 本不同的英语书，从中任取故事书和英语书各一本，
有多少种不同的取法
2、先铁路局在西安和华山之间设有4 个火车站 （包括西安和华山） ，即西安——临潼——渭南——华山，铁路局要为这条路线准备几种不同的车票
分析与解：
设计一张火车票需要分成两个步骤才能完成， 第一步确定起点， 以其中的任何一个火车站为起点， 有 4 种选择；第二步确定终点， 第一步用了一种， 第二部是第一步的剩余方法数，
3 种选择。用第一步的方法数乘第二步的方法数就可以求出完成这件事共有多少种不同的方法。
4× 3=12（种）
试一试：
上海到南京的快车，除起点、终点站外，还要停靠 6 个站，要准备多少种车票
归纳总结：
以上两道例题用到的数学思想就是数学上的乘法原理。除了枚举法，我们还可以用到乘法原理来解决此类问题：完成一件事情如果需要分成两个步骤，求完成这件事情的方法总数，可以用第一步的方法数乘第二步的方法数求得。
乘法原理： 如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行， 做第 1 步有 m1 种方法， 做第 2 步有
m 2 种方法 做第 n 步有 m n 种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N＝ m 1 ×m 2 × × mn 种不同的方法。
从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
二、巩固练习。
1、明明同学到食堂去吃饭，主食有 3 种，副食有 5 种，主、副食各选一种，问他有几种不同的吃法
2、第 42 页单元练习第 1-2 题
乘法原理（第二讲）
教学过程：
一、新授知识：
师：你还记得什么是乘法原理吗乘法原理的公式是什么
今天我们继续研究求完成一件事情的方法总数问题，通过今天的研究，要明白当做一件事情需要分两个以上步骤才能完成时，怎样运用乘法原理求其方法总数。
请看下面问题：
1、例 1：从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有
3 条路，从丙地到丁地也有
2 条路。问：
从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法
分析与解： 用 A1 ， A2 表示从甲地到乙地的
条路，用 C1 ， C2 表示从丙地到丁地的
2 条路，用 B1 ，B2 ，B3
2 条路（见下页图）。
表示从乙地到丙地的
3
1）审题，讨论
2）分析：从甲村到丁村可以分成几个步骤来完成
事实上，从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有
2 种方法，第二步乙到丙有
3 种方
法，第
3 步丙到丁有
2 种方法。
对于第一步的每种方法，
第二步都有
3 种方法， 所以从甲到
丙有
2×3=6 （种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有
2 种方法，所以不同的走法共
有
2×3×2 ＝ 12 （种）。
（ 3）让学生说说分析的思路。
试一试：完成第 39 页自主检测第 1 题，指名回答解题思路。
2、例 2 ：四张卡片上分别写由 3、 4、5 、6 四个数字（其中数字 6 不可以看作 9 ），从这四
张卡片中任选 3 张排成一个三位数，共可以排出多少个不同的三位数。
① 、审题、讨论。
② 、分析：
提问：组成一个三位数可以分成几个步骤来完成
从组成一个三位数一共分成
3 个步骤完成，用第一步的方法可以选
4 个数字，再乘第二步
的方法可以选剩下的
3 个数字，再乘第三步的方法可以选剩下的
2 个数字，就可以完成。
解： 4× 3× 2=24 （种）
③ 、让学生说说分析的思路
试一试：完成第 39 页自主检测第 2 题，指名回答解题思路。
归纳总结：
做一件事情， 如果完成它需要分成三个步骤， 求完成这件事情的方法总数时， 也可以用乘法
原理来解答， 用第一步的方法总数乘第二步的方法总数， 再乘第三步的方法总数， 就可以求
出完成这件事的方法总数。
二、巩固练习。
1.甲组有 6 人，乙组有 8 人，丙组有 9 人。从三个组中各选一人参加会议， 共有多少种不同
选法
2.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、
一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束
3、第 42 页单元练习第 3 题
乘法原理（第三讲）
一、复习：
1、 什么是乘法原理
2、 乘法原理的公式是什么
二、新授：
1、例 1
出示例 1：用数字 1、 2、 3、4 可以组成多少个不相等的三位数
①、审题、讨论。
题目中只说组成不相等的三位数，没说数字不可以重复。
②、分析：
提问：组成一个三位数可以分成几个步骤来完成
从组成一个三位数一共分成
3 个步骤完成， 用第一步确定百位上的数字，
有 4 种选法； 第二
步确定十位上的数字，
由于百位上用过的数字十位还可以再用，
所以还是有
4 种选法； 第三
步确定个位上的数字，也有 4 种方法。
解： 4 × 4× 4=64（种）
③、让学生说说分析的思路。
试一试：完成第 41 页自主检测第 1 题，指名回答解题思路。
2、例 2
出示例 2：明明和爸爸、妈妈、奶奶、姐姐一起照“全家福” ，五个人站成一排。爸爸说：
明明，你喜欢数学题，你看，我们全家五人站成一排照相，奶奶要站在正中间，有多少种站
法“
①、审题、讨论。
②、分析：
一 二 三 四 五
如图， 因为 “奶奶要站正中间” ，所以奶奶只能站在第三的位置，第三的位置只有 1 种站法；
第一的位置可以站除奶奶以外的四人中的一人， 有 4 种站法； 第二个位置可以站余下 3 人中
1 人，有 3 中站法；第四个位置可以站余下 2 人中 1 人，有 2 种站法；第五个位置只有 1 种
站法。
解： 4 × 3× 1× 2× 1=24（种）
③、让学生说说分析的思路
试一试：完成第 41 页自主检测第 2 题，指名回答解题思路。
归纳总结：
当确定完成一件事的方法总数用乘法原理来解答以后， 要根据问题的实际情况弄清每一步骤
上的方法数，然后用每一步的方法数相乘就可以完成这件事的方法总数。
三、巩固练习：
1、用数字 0， 1， 2， 3 ， 4， 5 可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）
2、 6 个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法（相应指导）
分析与解 :
甲当排头 ,只有一种排法，乙不当排尾，除去甲，乙， 6 个人还有 4 个人有 4 种排法，再看其
他位置，还有几种办法。我们分布来排：先排开头，再排结尾，最后排其他位置，
3、第 42 页单元练习第 4、 5 题