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2020届湖北省恩施高中高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B）数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解二次不等式，化简集合A，根据集合的并集运算求解即可.
【详解】
因为集合，
，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了解不等式、集合的并集运算.属于较易题.
2．已知i是虚数单位，复数为纯虚数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分母实数化，化为复数的一般形式即可.
【详解】
本题考查复数的概念及运算.由题可知复数.∵复数z为纯虚数，∴且，∴，∴z的虚部为.
故选:C.
【点睛】
本题考查纯虚数的概念，属基础题，.
3．已知向量，，，且，，则的值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】利用空间向量平行和垂直的坐标公式求解即可.
【详解】
∵，
∴，，
∴向量，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线关系、垂直关系及向量的坐标运算.属于较易题.
4．已知二项式的展开式的二项式系数和为32，所有项系数和为243，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】根据二项式系数和求得，利用赋值法，结合所有项系数和求得.
【详解】
∵二项式系数和为，∴.令，∴，∴.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于中档题.
5．小乌鸦发现一个底面半径为2，高为8的圆柱形容器内有水面高度为5.8的水，但是只有水面高度达到7时才能喝到水.小乌鸦为了喝到水找来了一些半径为1的小铁球放到盛水的容器内（容器壁厚度不计），则小乌鸦要喝到水最少需要小铁球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据要使水面高度达到7，则至少需要增加水面升高部分的体积为，结合小铁球的体积为，由求解.
【详解】
由题可知要使水面高度达到7，则至少需要增加水面升高部分的体积为，
一个小铁球的体积为.
假设至少需要n个小铁球，则，
∴.
又∵，
∴最少需要4个小铁球，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查圆柱体的体积和球的体积，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．俗话说：谷前谷后，种瓜种豆；谷雨前后是葫芦的播种季节，为了保苗，一般每个苗坑播两粒种子，只要有一粒种子发芽就不用补种；已知一种观赏葫芦种子的发芽率为0.9，所有种子是否发芽相互独立，这种葫芦某个苗坑需要补种的概率为（ ）
A．0.81 B．0.09 C．0.10 D．0.01
【答案】D
【解析】先根据条件设事件，再利用相互独立事件求概率即可.
【详解】
记某个苗坑一粒种子发芽为事件A，
另一粒种子发芽为事件B，
需要补种为事件C，
两粒种子是否发芽互独立，
则，
则.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率.属于较易题.
7．已知等差数列的前n项和为，记的最大值为S，，正项等比数列的公比为q，满足，且，则使，成立的n的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】利用等差数列的通项公式求解首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出S，再利用等比数列的公式求解，由，代入解不等式即可.
【详解】
由题可设等差数列的公差为d，
∵，
∴，，
；
当时，有最大值，
∴，
，，
∵，
∴，，
要使成立，
即，且，
∴，
则n的最小值为3.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式以及等差数列的前n项和.属于较易题.
8．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，由求得的取值范围.
【详解】
构造函数，其图象开口向上，
由于不等式在上恒成立，
所以，即，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解，属于中档题.
二、多选题
9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（ ）
A．当时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了
D．当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨
【答案】ABD
【解析】由分段函数图像，可以读出各段上对于变化状态.
【详解】
本题考查统计图的应用.由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；
当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确.
故选:ABD.
【点睛】
由函数图像分析要注意以下量：.此题为基础题.
10．已知双曲线C：与直线交于A，B两点，点为C上任意一点，且直线，的斜率分别为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为
【答案】AC
【解析】设点，利用点差法得到，即可得到，从而求出双曲线的渐近线与离心率；
【详解】
解：设点，，∴.又∵，两式相减得，∴.又∵，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；
又∵，∴，故选项C正确，
故选：AC.
【点睛】
本题考查双曲线的性质、离心率及渐近线方程，属于中档题.
11．已知在长方体中，，点E是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面
【答案】BC
【解析】对于选项A，如图，连接，，利用勾股定理求出，，利用线面垂直的判定定理求解即可；对于B选项，先假设B选项正确，利用面面垂直的性质定理推出线面垂直关系，推出矛盾即可判断；对于C选项，连接，判断出与平面相交，故C选项错误；对于D选项，连接，交于点P，连接，利用线面平行的判定定理判断即可.
【详解】
对于选项A，如图，连接，，
设，
则在中，
易知.
在中，易知.
在中，易知，
∴，
∴，
同理，
又∵，
∴平面，所以A正确；
对于B选项，若平面平面，
由A选项可知平面，
则平面或平面，
但平面，
且平面，
所以B错误；
对于C选项，连接，
则，平面，
∴与平面相交，且平面，
所以C错误；
对于D选项，
如图，连接，交于点P，连接，
∵点P是中点，点E是中点，
∴.
又∵平面，平面，
∴平面，所以D正确，
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直及面面垂直的判定定理、线面平行及面面平行的判定定理.属于中档题.
12．定义在R上的函数，关于点对称，恒有，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的对称轴 B．周期
C．函数在上单调递增 D．
【答案】AC
【解析】由关于点对称，可知关于点对称，由，可知关于直线轴对称，所以周期周期，再利用在上单调递减，即可判断每个选项.
【详解】
因为，所以直线是的对称轴，故选项A正确.
关于点对称，所以函数关于点对称，又因为对称轴，所以周期，故选项B错误.
直线是的对称轴，且函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，周期，所以函数在上单调递增，故选项C正确.
因为周期，，则，选项D错误，
故选：
【点睛】
本题考查函数的单调性、奇偶性和周期性，属于中档题.
三、填空题
13．有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有______种.（用数字作答）
【答案】150
【解析】先将5名同学分成3组，再分配到3个兴趣班即可解题.
【详解】
本题考查排列组合.先把5名同学分成3组，若按1，1，3分组，共有（种）不同分法；若按1，2，2分组，共有（种）不同分法，所以共有（种）不同分组方法，所以分配到3个兴趣班共有（种）不同分配方案.
故答案为：150.
【点睛】
本题考查排列组合的分组问题，是中档题.
14．已知是函数的对称轴，则的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】利用是函数的对称轴化简的解析式，然后利用整体代入法求得的单调递增区间.
【详解】
.∵是函数的对称轴，∴，∴，∴.又，令，，则，∴为函数的单调递增区间.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数单调区间的求法，考查辅助角公式，考查三角函数图象的对称性，属于中档题.
15．已知直三棱柱，在底面中，，，则此三棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】根据题意得球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处，再根据几何运算求得三棱柱的外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可得答案.
【详解】
由题意可知，三棱柱的外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处，
设球心为O，两圆圆心分别为，.
在中由正弦定理得，
∴，∴.
记三棱柱的外接球的半径为，，
在中，，，∴，
∴该三棱柱外接球的表面积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱柱的外接球的表面积的计算，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.
四、双空题
16．如图，已知以点C为圆心的圆过点与直线相切，把点C的轨迹记为E，则E的方程为______；过点A的直线l与E交于P，Q两点，当以为直径的圆被y轴截得的弦长为4时，直线l的方程为______.
【答案】 或
【解析】首先根据题意得到点C的轨迹E为以点A为焦点，直线为准线的抛物线，从而得到E的方程.再分别讨论斜率存在和不存在的情况，利用韦达定理和圆的几何性质即可得到直线l的方程.
【详解】
设点C到直线的距离为d，则，
所以点C的轨迹E为以点A为焦点，直线为准线的抛物线.
设抛物线方程为，∵，∴，
则E的标准方程为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
点，，所以圆心为点，
半径为2的圆被y轴截得的弦长为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入消去y得，成立，
设点，，则，.
设中点为即圆心，则，
，所以半径，
被y轴截得的弦长为，解得，
所以直线l的方程为或，即或.
故答案为：；或
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、圆的弦长，属于中档题.
五、解答题
17．如图，在中，，且.
（1）求角A；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用三角形面积公式及三角形的性质即可求解；
（2）利用余弦定理、正弦定理即可求解.
【详解】
解：（1）∵，
，
∴，
∴；
又∵，
∴.
又∵，
∴.
（2）在中，
由（1）知，，，
由余弦定理可得，
解得.
由正弦定理可得，
解得；
∵，
∴；
在中，
由正弦定理得，
则.
【点睛】
本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养.属于中档题.
18．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和，则n的最小值是多少？
【答案】（1）；（2）10.
【解析】（1）将，转化为，利用等比数列的定义得到数列为等比数列，进而求出数列的通项公式；
（2）根据（1）中数列的通项公式求得，再根据为增函数求解.
【详解】
（1）∵，
即.
设，
∴，，
∴，
∴数列是首项为2.公比为2的等比数列
∴，
∴，.
（2）由题可得
.
∵，∴是增函数.
又，，
∴n的最小值为10.
【点睛】
本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式和前n项和公式以及分组求和，还考查了运算求解能力，属于中档题.
19．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取的中点O，中点F，连接，，，利面面垂直得到平面，从而即为直线与平面所成的角，然后根据，在中得到，在中得到求解.
（2）以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由平面，求得的坐标，然后由求解.
【详解】
（1）如图所示，
设的中点为O，的中点为F，连接，，，则.
因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
因为平面，所以，
所以即为直线与平面所成的角.
因为，则，
所以.
在中，，，所以.
在中，，
所以.
（2）解法一：因为点D，E分别为，边的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
由（1）知，平面，又，所以以点O为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得
令，所以.
因为，
设点O到平面的距离为d，
则.
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
解法二：如图，
因为点D，E分别为，边的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面，
所以.
又，，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
因为平面平面，
作交于点G，则平面.
在中，，
所以，.
因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.
【点睛】
本题主要考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面所成角的求法、点到平面的距离，还考查了转化化归的思想和空间想象能力，逻辑推理的能力，属于中档题.
20．2020年1月我国出现了新冠肺炎疫情，为了阻断传播途径，有效控制疫情的蔓延，全国各地都实行了居家隔离.某城市为了保障居家隔离期间对居民的供水，随机抽取了2019年12月份200户居民的用水量与2020年1月份的用水量进行对比，以便更好地确定下一步供水工作的工作计划.经过整理得到抽取的2019年12月份200户居民用水量（单位：立方米）的频率分布直方图如图.
（1）（ⅰ）求抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数；
（ⅱ）根据频率分布直方图的数据估计全市118.2万户居民中有多少万户用水量在范围内；
（2）为了进一步了解用水量在，，范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访.
（ⅰ）各个范围各应抽取多少户？
（ⅱ）若从抽取的6户中随机抽取3户进行入户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率.
【答案】（1）（ⅰ）80户；（ⅱ）47.28万户；（2）（ⅰ）范围内的应抽取3户，范围内的应抽取2户，范围内的应抽取1户；（ⅱ）.
【解析】（1）（ⅰ）由频率分布直方图求得频率，由频率求频数即可；
（ⅱ）用样本分布估计总体分布求总体数据；
（2）（ⅰ）利用分层抽样即可求解；
（ⅱ）利用古典概型的概率公式求解概率即可.
【详解】
（1）（ⅰ）由频率分布直方图可知用水量在范围内的居民户数的频率为，
所以抽取的200户居民用水量在范围内的居民户数为（户）.
（ⅱ）把用水量在范围内的居民户数的样本频率当成总体的频率，
估计全市118.2万户居民中有（万户）用水量在范围内.
（2）（ⅰ）把用水量在，，范围内的居民数分成三层，各层频率分别为，，，
所以用水量在范围内的应抽取（户），
用水量在范围内的应抽取（户），
用水量在范围内的应抽取（户）.
（ⅱ）记“3户分别来自3个不同范围”为事件A，把抽取的用水量在范围内的3户分别记为，，，把抽取的用水量在范围内的2户分别记为，，把抽取的用水量在范围内的1户记为c，
从6户中随机抽取3户的所有等可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，其中3户分别来自3个不同范围的结果有6种，
所以3户分别来自3个不同范围的概率.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用、分层抽样与古典概型，考查运算求解能力，考查数据分析核心素养. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
21．已知点M为圆E：上任意一点，点，线段的垂直平分线与半径交于点N.
（1）当点M在圆E上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）若经过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求的最大值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义即可求解；
（2）设出直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式以及三角形面积公式结合基本不等式即可求解.
【详解】
解；（1）如图，连接，
∵点N为的垂直平分线上的点，
∴，而，
∴，
∴点N的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
∴，∴点N的轨迹C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率的存在时，设点，
直线l的方程为，
联立消去y得
∵，∴，
∴，.
设点O到直线的距离为，
弦长，
∴
设，∴，
∴，
∴当时，取得最大值1，此时，，满足，
∴的最大值为1.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力、数形结合思想，考查数学运算核心素养，属于中档题.
22．已知，.
（1）证明：存在极小值；
（2）令，若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）首先对求导，利用导数的正负判断函数的单调性即可证明.
（2）首先将题意转化为恒成立，构造函数，根据函数的单调性得到，从而得到，即，即可得到实数m的取值范围.
【详解】
（1）∵，
∴.
令函数，则，
∴函数在上单调递增.
∵，，∴存在唯一使得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数存在极小值.
（2）∵，∴，
即，
∴，
即.
设函数，，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴恒成立，即，
∴，
∴，
∴，∴，
故实数m的取值范围为.
【点睛】
本题第一问考查利用导数研究函数的极值，第二问考查导数的综合应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于难题.