分数求和
分数求和的常用方法 ：
1、公式法，直接运用一些公式来 算，如等差数列求和公式等。
2、 解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用 表示出来，从而找出 便方法。
3、裂 法，在 算分数加、减法 ，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分
分数可以互相抵消，从而使 算 便。
4、分 法，运用运算定律，将原式重新分 合，把能凑整或 分化 的部分 合在一起 算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化 ，然后再 算出 果。
典型例
一、公式法：
算：
1
2
3
4
2006
2007
2008
+
+
+
+ ? +
+
2008
2008
2008
2008
2008
1
分析： 道 中相 两个加数之 相差 ，成等差数列，我 可以运用等差数列求
2008
和公式：（首 +末 ）× 数÷
2 来 算。
1
+
2
+
3
4
+
2006
2007
2008
2008
+
? +
+
2008
2008
2008
2008
=（
1
＋ 2007 ）× 2007 ÷2
2008
2008
=10031
2
二、 解法：
算： 1
＋
1＋1＋ 1
＋ 1
＋ 1
2
4
8
16
32
64
分析：解法一，先画出 段 ：
从 中可以看出：
1
＋
1
＋ 1
＋
1 ＋
1 ＋ 1
=1－
1
=
63
2
4
8
16
32
64
64
64
解法二 : 察算式，可以 后一个加数 是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数
1 ，就能凑成 1 ，依次向前 推，可以求出算式之和。
64 32
＋1＋1＋ 1＋ 1＋ 1
2
4
8
16
32
64
= 1
＋1＋1＋1＋1＋（1＋1）－ 1
2
4
8
16
32
64
64
64
= 1
＋1＋1＋1＋（ 1+1）－ 1
2
4
8
16
32
32
64
1 1
×2－
64
=
64
解法三： 由于 中后一个加数 是前一个加数的一半， 根据 一特点， 我 可以把原式 大
倍，然后两式相减，消去一部分。
x= 1
＋1＋1＋1＋1＋1
①
2
4
8
16
32
64
那么， 2x=（ 1
＋
1＋1＋
1 ＋
1 ＋ 1
）× 2
2
4
8
16
32
64
=1+
1
＋
1＋1＋
1 ＋ 1
②
2
4
8
16
32
用②－①得
2x－ x=1+
1
＋
1＋ 1＋
1＋1－（1
＋
1＋1＋
1 ＋
1 ＋ 1
）
2
4
8
16
32
2
4
8
16
32
64
x=
63
64
所以， 1
＋
1＋1＋
1 ＋
1 ＋ 1
=
63
2
4
8
16
32
64
64
三、裂 法
1、 算：
1
+
1 ＋ 1
＋ 1
＋ 1
＋＋
1 ＋ 1
2
6
12
20
30
90
110
分析：
由于每个分数的分子均
1，先分解分母去找 律：
2=1× 2，6=2× 3，12=3×
4，20=4× 5， 30=5× 6， 110=10× 11， 些分母均 两个 自然数的乘 。
再 数型：因
1
=
1
=1－
1 ， 1
=
1
3
=
1－1， 1
=
1
=
1－ 1，，
2
1
2
2
6
2
2
3
12
3
4
3
4
1 = 1 = 1 - 1 。
将 加运算 成加减混合运算，中 分数互相抵消，只留下
110 10 11 10 11
和尾两个分数， 算 来方便。
1
+
1 ＋
1 ＋
1 ＋ 1
＋＋
1 ＋
1
2
6
12
20
30
90
110
=1－
1 ＋ 1
－
1＋1－
1 ＋＋
1 －
1
＋ 1
-
1
2
2
3
3
4
9
10
10 11
=1－
1
11
10
=
11
2、 算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＋ 1
15 5 9 913 29 33 33 37
分析：因
4
=1 －
1 ，
4
=
1－ 1，
9
4
=
1－1
29
4
=
1－1，
1
5
5
5
9
5
9
13
9
13
33
29
33
33
4
=
1 － 1 。所以，我 可以将 中的每一个加数都 大
4 倍后，再分裂成两个数
37
33
37
的差 行 便 算。
1
＋
1
＋
9
1
＋＋
1
＋
1
37
1
5
5
9
13
29
33
33
=（
4
＋
4
9
＋
4
＋＋
4
＋
4
37
）÷ 4
1
5
5
9
13
29
33
33
=（ 1－
1＋ 1－ 1＋1－
1＋＋ 1－1
＋
1－1）÷4
5
5
9
9
13
29
33
33
37
=（ 1－
1
）÷ 4
9
37
=
37
4－4－4－4－4－4
－ 4
－ 4
3、 算： 21－
3
15
35
63
99
143
195
255
分析：因 4
=4×
1
=4×
1
=4×（ 1－
1）× 1
,
3
3
1
3
3
2
4 =4× 1 =4×
1
=4×(1－1)× 1,
15
15
3
5
3
5
2
4 =4× 1 =4×
1
=4×(1－ 1)× 1,
35
35
5
7
5
7
2
4
=4× 1
=4×
1
=4×( 1－ 1 )×1.
255
255
15
17
15
17
2
所以，先用裂 法求出分数串的和，使 算 便。
21－4－4－4－4－4－ 4 － 4 － 4
3
15
35
63
99
143
195
255
=21－ 4× （ 1－
1
+
1 － 1
+
1－ 1 ＋＋
1－1）×1
3
3
5
5
7
15
17
2
=21－ 2× (1－
1
)
17
2
=19
17
4、 算：
1＋ 5＋ 11＋ 19＋ 29＋＋
9701 ＋ 9899
2
6
12
20
30
9702
9900
1
1
1 ，
分析：仔 察后 ， 每个加数的分子均比分母少
1. 可 形 ：
=1－
=1－
1
2
2
2
5
=1－
1
=1－
2
1
， 11
=1－
1
=1－
1
， 19
=1－
1
=1－
1
，， 9899
=1－
6
6
3
12
12
3
4
20
20
4
5
9900
1
1
.然后再裂 相消。
=1－
9900 99 100
1＋5＋11＋19 ＋ 29＋＋
9701 ＋ 9899
2
6
12
20
30
9702
9900
=（ 1－
1）＋（1－ 1）＋（1－ 1
）＋ (1－
1
)＋＋ (1－
1
)
2
6
12
20
9900
=1× 99－ (
1＋1＋
1 ＋
1 ＋＋
1
)
2
6
12
20
9900
=99－ (
1
＋
1
＋
1
＋
4
1
＋＋
99
1
)
1
2
2
3
3
4
5
100
1
)
=99－ (1－
1
100
=99
100
1
1
1
1
5、 算 ： 1＋
+ +
1
2
1
2
3
1
2
3
4
2 3
......
100
1
分析：可以看出，第一 的分母 1，第二 的分母 两个数相加，依此 推，最后一个分母是 100 个数相加且都是等差数列。
，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性 ， 分母 两个数相乘。再裂 求和。
解法一：
1＋
1
1
1
+ +
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3 ...... 100
4
1
2
1
1
1
......
1
=
+
(1
2)
2
(1
3)
3
(1
4)
(1
100)
100
1
2
4
2
2
2
2
=
2
2
2
2
......
2
2
2
3
3
4
4
5
100
101
1
=2×（ 1－ 1 ）
101
99
=1
解法二：原式 =
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(1
2)
2
(1
2
3)
2
(1 2
3
4)
......
2 (1 2 ...... 99 100)
=
2
2
2
......
2
2
2
3
3
4
100
101
1
=2×（
1
1
1
......
1
）
1
2
2
3
3
4
100
101
=2×（ 1－
1
）
=1 99
101
101
1
1
1
1
6、 算 ：
?＋
1
2
3
2
3
4
3
4
5
99
100
98
分析：可以把 中的每两个加数分解成两个分数之差：
1
3
1
(
1
2
2
1
) ，
2
1
4
1
(
1
3
1
) ，
1 2
2
1
3
3
2
2
3
4
1
1
(
1
1
) ，此 ，可消中 ，留两 行巧算。
98
99
100
2
98
99
99
100
原式=1 ×（
1
1
3
）＋ 1×（
2
1
1
4
）+＋ 1 ×（
1
99
1
）
2
1
2
2
2
3
3
2
98
99
100
=
1
×（
1
2
1
3
＋
2
1
3
1
4
＋＋
1
1
）
2
1
2
3
98
99
99
100
=
1
×（
1
1
）
12 99100
4949
=
19800
四、分 法 ： 算，
1
2
－
3
－
4
＋
5
＋
6
－
7
－
8
＋
+
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
9
＋ 10
－－
1999 － 2000 ＋ 2001 ＋ 2002
2004
2004
2004
2004
2004
2004
分析： 算式中共有
2002 个分数， 从第二个分数
2
开始依次往后数，每四个分数 一 ，
2004
到 2001 止，共有 500
，每 算 果都是
0.
2004
原式
1
2
－
3
－
4
＋
5
）＋（
6
－
7
－
8
＋
9
）
=
+（
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2004
＋ 10
－ +（ 1998 － 1999 － 2000 ＋ 2001 ）＋ 2002
2004
2004
2004
2004
2004
2004
1
2002
=
+
2004
2004
2003
=
2004
五、代入法 ： 算（ 1+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
）×（
1
1
1
2
3
4
）×（
3
4
）－（ 1＋
3
4
5
2
3
）
2
5
2
4
分析：可以把算式中相同的一部分式子， 字母代替，可化繁 ，化 易。
1 1
1=A， 1 1
1 1 =B，
2
3
4
2
3
4
5
原式 =（ 1+A）× B－(1+B)× A
=B＋ AB－ A－ AB
=B－ A
1
1
1
1
)－ (
1
1
1
)
=(
3
4
5
2
3
4
2
1
=
5
点
算：
1、
1
3
5
7
9
11
13
49
49
49
49
49
49
【 1】
49
2、11111
1 1
1
【 1 】
2
4
8
16
32
64
128
128
3、111 1
1
1【6】
2
6
12
20
30
42
7
4、
1
1
1
......
1
1
1988
1989
1989
1990
1990
1991
2007
2008
2008
2009
【
1
1
3
】
2009
1988
570556
5、
1
1
1
19
......
35
1
1
【
1 】
13
15
15
17
17
37
37
39
39
6、2+ 3 1
5 1
7 1
11 1
131 【415】
6
12
20
30
42
14
7、
1
5
11
19
29
41
55
【 6 1
】
2
6
12
20
30
42
56
8
8、
4
16
36
64
100
144
196
256
324
400
10
】
3
15
35
63
99
143
195
255
323
【 10
21
399
9、 1
5
7
9
11
13
15
17
19
21
6
12
20
30
42
56
72
90
110
【原式 =1－ 2
3 ＋ 3
4 － 4
5
+
5
6
-
6
7
+
7
8 － 8
9
+
9
10－10
11
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
=1－（
2
2
3
） +（
3
3
4
4
）－ (
4
5
5
)+?－（
10
11
）
3
2
3
3
4
4
4
5
10
11
10
11
1
1
1
1
1
1
)+?－ (
1
1
)
=1－ (
2
)+(
)－ (
4
11
10
3
4
3
5
=1－
1
1
=
9 】
2
11
22
10 、
1
+
2
+
3
+
4
－
5
－
6
－
7
－
8
＋
9
＋ 10
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
＋?＋ 1995 ＋ 1996 － 1997 － 1998 － 1999 － 2000 ＋ 2001 ＋ 2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
【从第三个分数
3
开始依次往后数，每
8 个分数 一 ，到最后一个分数
2002 止，
2002
1
2
3
2002
共有 250
，每 算 果都是
0.所以，原式 =
+
=
】
2002
2002
2002
11、(1+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)× (
1
1
1
1
2
3
4
)×（
3
4
5
）－(1+
3
4
5
6
2
3
4
)
5
2
6
2
5
【 1+1
1
1
1
=A，
1
1
1
1
=B，原式 =A×（ B+
1 ）－（ A+1 ）×B=1 】
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
6
12、
1
(1
2)
( 1
2
3)
( 1
2
3
4) +? +（
1
2
3
...
18
19
）
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
20
20
20
20
20
【原式 =
1
+1+1
1
+2+2
1
+? +9
1
=（
1
+9
1 ）× 19÷ 2=95】
2
2
2
2
2
2
13、2001
年是中国共 党建党
80
周年，
1921 是个有特殊意 的分数。
如果下式大于 1921 ，
那么 n 最小等于多少
2001
2001
1
1
1
......
1
1 2
2
3
3
4
n
(n
1)
【1－
1
＞ 1921 ， n＞ 24 1
】
n
1
2001
8
14、 1
2
3
4
－－
1
(1
2)
(1
2)
(1
2
3)
(1
2
3)
(1
2
3
4)
10
(1 2 3 ...... 9) (1 2 3 ...... 10)
【先 分母用等差数列求和，再整体裂 求和。
原式 =1－
4
4
4
－?－
4
2
3
2
3
4
3
4
5
10
11
1
9
=1－ 4× [
1 ×(
1
1
)+
1 × (
1
3
1
)＋?＋
1 ×（
9
1
1
）
2
1
2
2
3
2
2
3
4
2
10
10
11
=1－ 4× 1 ×（
1
1
1
）=1】
2
2
10
11
55
15、
1
1
1
.......
1
1
42
1
62
1
1002
1
22
【利用公式
1
1
a
1
1
1
1
形各 。原式 = 1
1
1
=
50 】
a2
1
2
a
2
2
1
100
1
101
(22
42
62
......
1002 )
(12
32
52
......
992)
16、
1
2
3 ......
10 9
8 ......
1
【利用 a2
b2
a
b
a
b 形，分母 =100，分子 =（2+1 ）（ 2-1） +（ 4+3）（ 4-3）＋?
＋（ 100＋ 99）（100-99 ） =3＋7 ＋11＋?＋ 199=101× 50,原式 = 101
50
=501
】
100
2