学而思高三暑期期末测试
数学（文科）
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1．
已知 U
2 ，3，4 ，5 ，6 ，7
A ． M
I N
4 ，6
C． eU
N U M
U
M3，4 ，5 ，7
B ． M U N U
D ．
e M I N
U
， N 2 ，4 ，5 ，6 ，则（ ）
N
【解析】 B ．
2．
已知命题 p :
x R , cos x ≤ 1 ，则（
）
A ． p :
x
R , cos x ≥ 1
B． p :
x R , cos x ≥ 1
C． p :
x
R , cos x 1
D ． p :
x R , cos x 1
【解析】 C；
3．
x2
3 x 4
）
函数 y
的定义域为（
x
A ． 4 ，1
B ． 4 ，0
C． 0 ，1
D． 4 ，0 U 0 ，1
【解析】 D；
4．
已知函数 y sin x
0 ，
π 的部分图象如图所示，则（
）
2
A ．
1
，
π
B ．
1
，
π
6
6
C．
2
，
π
D ．
2
，
π
6
6
【解析】 D ．
y
1
Oπ 7π
x
3
12
5． f x 是 f x 的导函数， f x 的图象如右图所示，则 f x 的图象只可能是（ ）
y y y y
O
2 x O
2 xO
2 xO
2 x
A.
B.
C.
D.
【解析】 A；
6．
定义在 R 上的函数 f
x 满足 f x
log 2
4
x
，x ≤ 0
，则 f
3 的值为（
）
f
x
1
f
x
2
，x 0
A ． 1
B ． 2
C． 1
D ． 2
【解析】 B；
uuur
r
uuur
r
△OAB
7
平面上
O
，
A
，
B
三点不共线，设
OA
a
， OB
b ，则
的面积等于（
）
A ．
r 2
r
2
r r
2
B ．
r
2 r
2
r r
2
a b
a b
a b
a b
C． 1
r
2
r 2
r r
2
D ． 1
r 2
r
2
r r 2
a b
a b
a b
a b
2
2
【解析】 C；
8．
定义：如果对于函数
f x 定义域内的任意 x ，都有 f x ≥ M （ M 为常数），那么称 M 为 f x
的下界，下界
M 中的最大值叫做
f x 的下确界．现给出下列函数，其中所有有下确界的函
数是（
）
x
① f x sin x cos x
② f x ln x
③ f x
1
④ f x
2
A ．①②③
B．①④
C．②③④
D．①③④
【解析】 Ｄ；
答题卡：
1 2 3 4 5 6 7
B C D D A C B
(x ≥ 0)
(x 0)
x
8
D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填题中的横线上．
9． 若 f ( x) xex ，则 f 0 ________．
【解析】 1；
10．
已知 sincos
1 ，则 sin2 _______．
8；
3
【解析】
9
11．
（
x)
x2
2 x
3 ，x ≤ 0 的零点个数为 ________．
函数 f
2
，
ln x x 0
【解析】 2
；
12．
若 x
e 1 ，1
， a
ln x ， b
2ln x ， c
ln
3
x ，则 a , b , c 按从小到大的顺序排列为
．
【解析】 b
a
c；
13．
已知函数
f x
是定义在
R
上的奇函数， 且对任意
x
R 有 f x
2
f x ，当 0 ≤ x ≤ 1时，
f x
x ，则
f
7.5
______
【解析】
0.5；
14．下列命题
①函数 y
sin x
π 在 x
(0 , π) 上值域为
1
,
1
；
6
2
2
②函数 y
sin 2x
1
的最小正周期是 π；
③函数
y
sin
2x
π 图象关于
π
, 0
对称；
6
12
④函数
f ( x)
sin 2
x
π
sin2
x
π
是奇函数．
4
4
其中正确命题的序号是
___________．
【解析】 ② ③④；
三、解答题：本大题共
6 小题，共
80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．
（本小题共
13 分）
uuur
uuur
1，k
，且 △ ABC 的一个内角为直角，求实数
k 的值．
在 △ ABC 中，已知 AB
2 ，3 ，AC
【解析】 k
2 或 k
3
13 或 k
11 ．
3
2
3
16．
（本小题共
13 分）
在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为
a ， b ， c ，且 C
3 π， sin A
5 ．
4
5
⑴ 求 sin B 的值；⑵
若 c
a
5
10 ，求 △ ABC 的面积．
【解析】 ⑴
sin B
10 ．
10
⑵ S△ ABC
5 ．
2
17．
（本小题共
13 分）
设函数 f (x)
ax3
bx
c(a 0)
是定义在 R 上的奇函数，其图象在点
1， f 1
处的切线方程
是 6x y
4 0 ．
⑴ 求 a ，
b ， c 的值；
⑵
求函数 f
x
的单调递增区间，并求函数
f
x 在
1 ，3
上的最大值和最小值．
【解析】 ⑴
a
2 , b
12 , c 0；
⑵ f ( x) 的单调递增区间为
(
,
2) 与 (
2 ,
) ．
f ( x) 在 [
1，3]
上的最大值为
18
，最小值为
8
2 ．
18．
（本小题共
13 分）
已知 f ( x)
2( m
1)x2
4mx
2 m
1 ，
⑴
m 为何值时，函数的图象与
x 轴有两个交点；
⑵
如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数
m 的取值范围．
【解析】 ⑴
m
1且 m
1
．
⑵
1
m
1 ．
2
19．
（本小题共
14 分）
已知函数 f
x
是定义在
1,
1 上的奇函数，且
f 1
1 ，若 x , y
1, 1 , x y 0 有
x
y
f
x
f
y
0
．
⑴
判断 f
x
的单调性，并加以证明；
⑵
解不等式
f
x
1
f
1
2 x
；
2
⑶
若 f
x
≤ m2
2am
1
对所有 x
1, 1 , a
1, 1
恒成立．求实数
m 的取值范围．
【解析】 ⑴
任取 1≤ x1
x2 ≤ 1 ，有 ( x1
(
x2 )) f ( x1 )
f (
x2 )
0
，
由 x1
x2
0 知， f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f
( x2 )
0 ，故
f ( x) 是 [ 1, 1] 上的增函数；
⑵ 0 ≤ x 1；
6
m 0 或 m≥ 2 或 m ≤ 2 ．
20．（本小题共 14
分）
已知函数 f
x
2
ax
a
1 ln x ，a 1
．
1 x
2
⑴ 讨论函数 f
x
的单调性；
⑵ 证明：若 a
5
，则对任意 x1 ，x2
0 ，
， x1
x2
，有
f
x1
f x2
1 ．
x1 x2
【解析】 ⑴ （ i）若 a
2
， f
x
在
0 ，
单调增加．
（ii ）若
1
a
2
， f
x
在 a
1，1 上单调减少，在
0 ，a
1
， 1，
上单调增加．
（iii ）若 a
2 ， f
x
在
1，a
1
上单调减少，在
0 ，1
， a
1 ，
上单调增加．
⑵ 考虑函数 g
x
f
x
x
1
x2
ax a
1 ln x
x ．
2
则 g x x a 1
a 1 ≥ 2 x a 1
a 1 1
a 1 1
2
．
x
x
由于 1
a
5，故 g
x
0 ，即 g x 在
0 ，
单调增加，
（关于 g (x)
0 也可通过如下方法得到：
2
(a
1)x
(a
1)
1
2
2
x
a 1(a
1)
(a
1)
g ( x)
x
x
x
4
2
1
a
1
2
1)(5
a )
x
(a
）
x
2
4
0
从而当 x1
x2
0 时有 g x1
g x2
0 ，即 f x1f
x2 x1 x2 0 ，
f
x1
f
x2
1
，
故
x1
x2
当 0
x1
f x1
f x2
f x2
f x1
1
．
x2 时，有
x1
x2
x2
x1