益阳市2021届高三9月调研考试
数学
注意事项：
1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
试题卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，．则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数（其中为虚数单位，），则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知半径为1的球被截去一部分后几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
5．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
7．过抛物线的焦点的直线交于，两点，且，为坐标原点，则（ ）
A． B． C．4 D．
8．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ）
A．的焦距为4 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．直线与有两个公共点
10．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的一条对称轴 B．是周期为2的周期函数
C．在上单调递减 D．是函数的一个零点
11．下面的结论中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若且，则
12．函数的部分图象如图中实线所示，图中的、是圆与图象的两个交点，其中在轴上，是图象与轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的一个周期为 B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在上单调递增 D．圆的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若，则________．
14．的展开式中的系数是________．（用数字填写答案）
15．已知函数，则的零点个数为________．
16．已知正方体的棱长为4，是中点，过点作平面，满足平面，则平面与正方体的截面周长为________．
四、解答题：本題共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列是等比数列，且，其中，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式
（2）记________，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
8．（本小题满分12分）
已知的角，，对边分别为，，，，．
（1）求；
（2）求面积的最大值．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，．
（1）求证：；
（2）若直线与所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名未感染，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为未感染者．
（1）若从这6名密切接触者中随机抽取2名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化验确定感染者的方法有：方法一是逐一化验；方法二是平均分组混合化验，先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒，若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验；直至确定感染者．
（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；
（ⅱ）采取平均分成三组混合化验（每组血液份数相同），求该分组方法所需化验次数的数学期望．
你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过坐标原点的直线与椭圆相交于，两点，且满足，求面积最大时直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，有成立，求实数的取值范围．
益阳市2021届高三9月调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．AC 10．ABC 11．BCD 12．BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．80 15．2 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，
∴，
又因为，所以，即，
所以，或（舍去，所以，． 4分
（2）由（1）知，选择条件①，则
∴，
∴，
∴，
∴． 10分
由（1）知，选择条件②，则，
所以，
． 10分
由（1）知，选择条件③，则，
∴
∴． 10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理及得：，
∵，∴，即，
∵，∴，所以，即， 6分
（2）由（1）可知：，在中，由余弦定理得：，
即，所以，，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为． 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵四棱锥的底面为正方形，∴，
又平面平面，
∴平面，又平面，
∴，即． 5分
（2）取，的中点，，连接，，则，结合（1）知平面，因为，所以，，所以，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，且直线与所成角的为，所以，，又，
所以，，令，
则，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则，即，取，
则，所以，
又是平面的一个法向量，
所以，，
所以，所求二面角的余弦值为． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）抽到感染者的概率． 3分
（2）（i）按逐一化验法，的可能取值为1，2，3，4，5，
，，，，
，
所以的分布列为
1
2
3
4
5
数学期望． 7分
（i i）平均分成三组即按分组，记所需化验次数为，则，
，
所以的分布列为
2
3
数学期望．
因为，所以按平均分组法较合理． 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为； 4分
（2）由题意可知，直线的斜率显然存在，设直线的方程为
，，，
由得，
①
所以，所以，，
因为，所以，
解得：，代入①得且，
所以，
，
当且仅当，即时上式取等号，此时符合题意，
所以直线的方程为． 12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为，
当时，，，由得；
由得，由得，
故的单调递减区间为，递增区间为． 4分
（2）当时，不等式成立，即成立，
等价于成立，
令，则，
令，，
当时，；当时，；从而在上递减，在上递增，故．
∴，故在上单调递增，
∴，，两边取对数得，，即恒成立，
等价于．
令，，则，由得，由得，
由得，故在上递增，在递减．从而．
∴，即实数的取值范围为． 12分