北京市人大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题【含答案】
2020年11月4日
说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分，Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟
Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）
一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）
1．设全集，集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知命题，，则是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
4．不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
5．函数的零点所在的区间是（ ）．
A． B．
C． D．
6．若，则下列不等关系一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．函数的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
8．“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
10．若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置）
11．函数的定义域为______．
12．若函数是偶函数，则______．
13．奇函数的定义域为，在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式的解集为______．
14．已知函数，如果对，，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为______．
15．设函数
①若，使得成立，则实数的取值范围是______．
②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）
16．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．
具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货量（单位）的函数关系为，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨每吨存储费为120元年，每次订货费为2500元．
（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
18．已知函数
（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（Ⅱ）关于的方程有6个不同的实数根．则：
（1）______．
（2）求，满足的条件．（直接写出答案）
Ⅱ卷（共7道题，满分50分）
一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）
19．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
20．若指数函数的图象和函数图象相交，则（ ）．
A． B．
C． D．
21．已知函数对于给定的存在，使得，则的最大值为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）
22．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______．
23．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．
在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…）
（1）如果为单调函数．写出满足条件的一-组值：______，______．
（2）如果的最小值为2，则的最小值为______．
24．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；
②任取的两个不同子集，，对任意都有；
③设，，对任意，都有
其中正确结论的序号为______．
三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）
25．已知集合为非空数集，定义：
，
（Ⅰ）若集合，直接写出小强数学集合，
（Ⅱ）若集合，，且，求证：
（Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案和评分标准2020.11.4
阅卷须知：
1．评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数．
2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．
第Ⅰ卷（共17题，满分100分）
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
C
A
D
A
B
D
C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
题号
11
12
13
14
15
答案
5
（答案不唯一）
或者
注：
11题和13题如果未写成区间或者集合形式．
三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
16．解：（1）由题可得：
则
（2）因为，则，
所以：或
即：或
所以的取值范围为
【注：的取值范围写成不等式】
17．解：
（1）有题意可得：
，．
将代入，得．
因此，该化工厂年存储成本费为68000元．
（2）因为，
所以，
当且仅当，且时，等号成立．
因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元．
18．解：
（Ⅰ）证明：
任取，，且，
则
因为，所以，，．
所以．即．
所以是上的减函数．
【注：没有“任取”或者“”，体现任意性词语和符号】
（Ⅱ）（1）
（2），
Ⅱ卷（共7道题，满分50分)
一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
题号
19
20
21
答案
C
D
C
二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
题号
22
23
24
答案
a=1，（答案不唯一即可）
2
①③
三、解答题
25．解：
（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347．