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n(x1 x)(y1 y) A,a样本数据xg , xa的标准差,(X
n
(x1 x)(y1 y) A
,a
样本数据xg , xa的标准差,
(Xi
x)2
(x1
(x2
x)2
x)
(Xn
—2
X)
2017西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷
数学
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
1
参考公式：锥体体积公式 V Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
3
A A A
线性回归方程y bx a中系数计算公式
其中x,y表示样本均值。
N是正整数，则an bn (a b)(ann2b
N是正整数，则an bn (a b)(an
n2b
abn 2 bn
1)
、选择题：本大题共 10小题，每小题5 分, 项是符合题目要求的。
设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A. -i B. i
满分
50分，在每小题给出的四个选项中,
C.
-1
只有
已知集合 A=
已知集合 A= (x, y) x,y为实数，且
B= (x, y) x, y为实数，且 x y
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
已知向量
a= (1,2), b= (1,0), c= ( 3,4)。
若为实数，
((a
b) II c),则
1
1
A.—
B.—
C. 1
D. 2
4
2
函数f (x)
1
lg(1 x)的定义域是
1 x
A.(
,1)
B. (1, +
)
C. (-1 ,
1) U( 1 , + 8)
D .(-,
+
)
不等式2x
2
-x-1>0的解集是
1
A.(—
,1)
B. (1, +
)
2
C.(-
,1 ) U (2, + )
D.(,
4)
(1,)
的元素个数为
3.
4.
5.
给定，若
给定，若M (x, y)为D上的
Ox 2
6 .已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式 x 2
动点，点A的坐标为(.2,1)，则z= OM OA的最大值为
B. 4 C. 3、2 D. 4,2
7.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线， 那么一个正
五棱柱对角线的条数共有
A. 20 B. 15 C. 12 D. 10
. . . . 2 2 . .
8 .设圆C与圆x + (y-3 ) =1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A?抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D ?圆
如图1-3，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱 形，则该几何体体积为
侧视图A. 4一
侧视图
A. 4一3 B. 4
C. 2 .3
设f (x), g (x), h (x)是R上的任意实值函数， 如下定义两个函数(f og)(x)和(f ?x)(x)；
对任意x € R , (f g) (x) = f (g (x)) ; (f g) (x) = f (x)g(x).则下列恒等式成立的是
(( f og) h)(x)
(( f og) h)(x)
((f h)o(g h))(x)
(( f g)oh)(x)((f oh) (g oh))(x)
(( f g)oh)(x)
((f oh) (g oh))(x)
(( f og)oh)(x)((f oh)o(g oh))( x)
(( f og)oh)(x)
((f oh)o(g oh))( x)
((f g) h)(x) ((f h) (g h))(x)
二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题5分，满分20分。
已知｛an｝是同等比数列，a2=2,a4-a 3=4,则此数列的公比q=
12?设函数
12?设函数f(X)
x cosx 1若 f (a) 11 ,则 f (-a ) =
13?为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1号到
5号每天打篮球时间 x (单位：小时)与当天投篮命中率 y之间的关系:
时间x
1
2
3
4
5
命中率
0. 4
0. 5
0. 6
0 . 6
0. 4
小李这5天的平均投篮命中率为 用线性回归分析的方法，预测小李每月 6号打篮球
6小时的投篮命中率为 ?
(二)选择题(14-15题，考生只能从中选做一题)
14 ?(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cos(0y sin
14 ?(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
5cos
(0
y sin
< )和
5t2
R),它们的交点坐标为
C
(集合证明选讲选做题)如图 4，在梯形ABCD中，AB//CD, AB=4 , CD=2 ? E,F分别为AD ,
BC上点，且EF=3, EF/ AB,则梯形 ABFE与梯形EFCD的面积比为
三、解答题：本大题共 6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
(本小题满分为12分)
1
TOC \o "1-5" \h \z 已知函数 f (x) 2sin( — x ) , Ro
\o "Current Document" 3 6
(1 )求f (0)的值；
10 6
(2)设 ， 0, , f (3 ) = — ,f (3 +2 )=—.求 sin ( )的值
2 2 13 5
(本小题满分13分)
在某次测验中，有 6位同学的平均成绩为 75分。用xn表示编号为n ( n=1,2,…,6)的同学所 得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩X6，及这6位同学成绩的标准差 s;
(2)从前5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68 , 75)中的概率。
(本小题满分13分)
图5所示的集合体是将高为 2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿
切面向右水平平移后得到的. a, a’，b, b分别为Cd ,C'd' ,De ,D'e'的中点，01,01,02,02
分别为CD,C'D',DE,D'E'的中点.
证明：01,A',02, B四点共面；
设G为AA '中点，延长 AO1到H ',使得0i H AO1 .证明：BO2 平面H B G
(本小题满分14分)
2
设 a> 0,讨论函数 f (x) =lnx+a (1-a ) x -2 (1-a )的单调性。
(本小题满分14分)
设 b>0，数列 an ｝满足 a1=b, a —nbOu_(n>2)
n an 1 n 1
求数列 an 的通项公式；
证明：对于一切正整数 n, 2a n b n 1+1
21 .(本小题满分14分)
在平面直角坐标系 xOy
在平面直角坐标系 xOy中，直线l : x
2交x轴于点A,设P是l上一点，M是线段0P的
垂直平分线上一点，且满足 / MPO= / AOP
H
H的坐标；
求直线l1的
(1)当点P在I上运动时，求点 M的轨迹E的方程;
已知T (1 , -1 ),设H是E上动点，求HO + HT的最小值，并给出此时点
过点T( 1, -1)且不平行与y轴的直线Ii与轨迹E有且只有两个不同的交点， 斜率k的取值范围。
参考答案
一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共 10小题，每小题5分，满分50分。
A 卷：1 — 5DBCBA 6 — 10CADCB
二、 填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共 5小题，每小题 5分，满分20
分，其中14 —15题是选做题，考生只能选做一题。
245
11. 2 12. -9 13. 0.5, 0.53 14. 1, 15. 7: 5
5
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
三、解答题：本大题共
（本小题满分12分）
解：(
解：(1) f(0)
2si n
2sin6
2sin2sin ,Q10
2sin
2sin ,
13
f(32si n2sin2cos2sin5
,cos1335'cossin
f(3
2si n
2sin
2cos
2
sin
5
,cos
13
3
5'
cos
sin2
1 5
13
12
13
sin故 sin()sincoscossin121313
sin
故 sin(
)sin
cos
cos
sin
12
13
13
63
65
2
cos
（本小题满分13分）
解：(1) Q
6n
Xn
75
X6
6x
Xn
75 70
76
72
70
72 90,
(Xn
x)2
2 2
6(5 1
32
52
32
2
15 ) 49 ,
7.
(2)从5位同学中随机选取 2位同学，共有如下 10种不同的取法：
{1 , 2}, {1, 3}, {1 , 4}, {1 , 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5},
选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68 , 75)的取法共有如下 4种取法:
{1 , 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5},
故所求概率为-.
5
18.(本小题满分13分)
证明：(1 ) QA,A分别为Cd,Cd 中点
O1 A //O1A
连接BO2
Q直线BO2是由直线
AO1平移得到
AO1 //BO2
O1 A //BO2
Q , AQ,B 共面。
(2)将AO1延长至H使得0旧=0识，连接HO^! ,HB,H H
由平移性质得01 02 =HB
B02 //H01
Q AG HO,HH AH , 01 H H GA H -
GAH 01 H H
H 01 H GH A -
1 2
Q H H G
B02 H G
Q 0102 B 02, 01 02 02 02 ,B 02 02 02 02
0102 平面 B BO2O2
0 02 B02
B02 H B
Q H B H G H
BO2 平面 HBG.
19.(本小题满分14分)
解：函数f(X)的定义域为(0,).
f (x)
2
2a(1 a)x 2(1 a)x 1
x
2
当a 1时，方程2a(1-a)x 2(1 a)x 1 0的判别式
1 12(a 1) a —.
3
1
①当0 a -时， 0,f (x)有两个零点，
3
x 1 7(a 1)(-a 1) Ox 1 J(a 1)(3a 1)
Xq O, X?
2a 2a(1 a) 2a 2a(1 a)
且当
X2时,f (x) 0, f (x)在(0, X1)与(X2,)内为增函数;
X2时,f
(x) 0, f (x)在(X1,X2)内为减函数;
②当
1时,
0, f (X)
0,所以f (x)在(0,)内为增函数;
③当
1 时,f (x)
0(x
0), f(x)在(0,)内为增函数;
④当
1 时,0,
X1
1
2a
J(a 1)(3a 1) 0
2a(1 a) ,
X2
1
2a
(a 1)(-a 1)
2a(1 a)
0,所以f (x)在定义域内有唯一零点 X1，
X X1 时，f (x)
0, f (x)在(0,xJ 内为增函数；
x x1 时
f (x)
0, f (x)在(x1,)内为减函数。
f(x)的单调区间如下表:
(0, X1)
(X2,
(0,
(0,xj
(X1,)
7
(其中X1秒
(a 1)(3a 1)
2a(1 a) ,X2
1
2a
.(a 1)(3a 1))
2a(1 a)
解：（
1)
由a1
b 0,知
n
1
1 n
1
an
b
b an
1
令An
丄，A
1
J
an
b
当n
2时A
1 1 A An b b
1
1
1 A
b
L
bn1
1
1
1
L
b
bn 1
bn
20.（本小题满分14分）
1
an
an 1
①当
1 时,An
11
b
bn 1
bn(b 1)
②当
1 时，An n.
an
nbn(b 1),
,b
bn 1
1,b 1
(2 )当
1时,（欲证2 a
只需2nbn
(bn1
1*
2nbn(b 1)
bn 1
n 1
b 1,
Q (bn 1
bn 1
1)bb
b2n
bn bn
bn
bn(2
2)
2nbn,
f)
1
2an
2n bn(b 1)
bn 1
bn
n 1 /
综上所述2an b 1.
21 .(本小题满分14分) 解：(1)如图1,设MQ为线段0P的垂直平分线，交 0P于点Q,
Q MPQ AOP, MP 1,且 |MO||MP|.
因此:—y2 |x 2|,即
2
y 4( x 1)(x 1). ①
另一种情况，见图 2 (即点M和A位于直线0P的同侧)。
MPQ MOQ.
又 Q MPQ AOP, MOQ AOP.
因此M在x轴上，此时，记 M的坐标为(x,0).
为分析M(x,0)中x的变化范围，设 P( 2, a)为I上任意点(a R).
由|MO | |MP|
(即 | x | , (x 2)2 a2 )得，
1 2
x 1 a 1.
4
故M (x,0)的轨迹方程为
TOC \o "1-5" \h \z y 0,x 1 ②
综合①和②得，点 M轨迹E的方程为
2 4(x 1),x 1,
y 0, x 1.
(2)由(1 )知，轨迹E的方程由下面 E和E2两部分组成(见图 3):
冃-2
rJ y
八
0 —
* I
ur
閒3
2
El : y 4(X 1)(x 1)；
E2 : y 0,x 1.
当H E1时，过T作垂直于I的直线，垂足为T，交E于D -, 1 。
4
再过H作垂直于I的直线，交I于H .
因此，|H0| |HH | (抛物线的性质)。
| HO | | HT | | HH | | HT | |TT | 3 (该等号仅当H与T重合(或H与D重合)时
取得)。
TOC \o "1-5" \h \z 当 H E2 时，则 |HO| |HT||BO| | BT | 1 ,5 3.
3
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 一，1 ?
4
(3)由图3知，直线h的斜率k不可能为零。
设 l1 : y 1 k(x 1)(k 0).
1 2 4 4
故x (y 1) 1,代入E1的方程得：y2 y 8 0.
k k k
因判别式 16 4 - 8 - 2
k k k
28 0.
所以h与E中的E有且仅有两个不同的交点。
又由E2和h的方程可知，若h与E2有交点，
k 0时,l1与E2
k 0时,l1与E2有唯一交点
则此交点的坐标为 ,0 ,且 1 ?即当 —
k k 2
k
,0 ，从而li表三个不同的交点。
k
1
因此，直线h斜率k的取值范围是（,才 （0， ）?
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