2020 年各地高考概率与统计部分模拟创新试题之六
1.若随机事件 A、B 生的概率均不等于 0，且 P( A
B)
P( A) P( B) ， 事件 A、 B 的关系是
A. 与
B
是互斥的
B.
与
B
不是互斥的
A
A
C.A 与 B 是独立的
D.A 与 B 不是独立的
2.已知 f ( x) 、 g( x) 都是定 在 R 上的函数 ,， g (x)
0 ， f
(x) g (x) f (x) g ( x) ， f ( x)
a x g (x) ，
f (1)
f (
1)
5 ，在有 数列
f (n) （ n = 1,2,
? ,10 ）中，任意取前k 相加， 前
k 和大
g (1)
g (
1)
2
g (n)
1516 的概率是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5
5
5
5
3.要将甲、乙两种大小不同的 板截成
A、 B 两种 格，每 板可同 截得
A、B 两种 格的小
板的 数如下表所示：
规格类型
A
B
钢板类型
甲
2
1
乙
1
3
已知 房中 有甲、乙两种 板的数量分 5 和 10 ，市 急需 A、B 两种 格的成品数分 15 和 27 .
（Ⅰ） 各截 两种 板多少 可得到所需的成品数，且使所用的 板 数最少？
（Ⅱ）若某人 性 划知 了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最
解的概率 .
4.一 路板上有 16 个 点，其中有 2 个不合格的虚 点，但不知道是哪两个， 要逐个 行
，直到 出所有的虚 点 止。
是 出两个虚 点 已 点的个数。
（Ⅰ）求 的分布列；
（Ⅱ）求 点不超 8 个即 出两个虚 点的概率；
（Ⅲ）求 的期望 E ,并 明在本 中它的意 .
5.已知某 站每天 8:00 — 9:00、 9:00 —10:00 都恰好有一 客 到站； 8:00 — 9:00 到站的客
A 可
能在
8:10、8:30、8:50
到，其概率依次
1 , 1 , 1
6 2 3
.9:00— 10:00
到站的客
B 可能在
9:10、9:30、
9:50
到，其概率依次
1 1 1
6 , 2 , 3 .今有甲、乙两位旅客，他 到站的 分
8:00
和 8:20 ，
他 候 的平均 哪个更多？
6.一 体育比 按两 排定名次， 每 由 A、B 两种 度系数的 4 个 作构成。
某 手参 方案如表所示：
难
动
作
1
2
3
4
度
轮次
一
A
A
A
B
二
A
A
B
B
若 个 手一次正确完成 度系数
A、 B 作的概率分
0.8 和 0.5
（Ⅰ）求 个 手在第一 中恰有
3 个 作正确完成的概率；
（Ⅱ）求 个 手在第二 中两种 度系数的 作各至少正确完成一个的概率。
7.已知数列 a n 是等比数列，其首
a1
1 ，公比 2；数列 bn
是等差数列，其首
b1 1 ，公
差 d ，且其前 n 的和 Sn 足 S7
14S2 .
（Ⅰ）求数列 a n bn 的前 n 的和
Tn；
（Ⅱ）在数列
an
(n = 1,2,3,4) 中任取一项 ai ，在数列 bn (n = 1,2,3,4) 中任取一项 bk
，试求满
足 ai
2
bk
2
81 的概率。
8.两个人射击，甲射击一次中靶概率为
P1 ，乙射击一次中靶概率是
P2 ，已知
1 、
1 是方程
P1
P2
2
5
x
5x
6
0
的两个实根， 若两人各射击
5 次，甲中靶次数的方差为 4 ，乙中靶次数的方差为
10
.
9
（Ⅰ）求 P1 和 P2
；
（Ⅱ）两人各射击
2 次，中靶至少
3 次就算完成任务，求完成任务的概率是多少？
9.已知函数 f (t )
at 2
bt
1
(t
R, a 0) 的最大值为正实数，集合
A { x | x a
0} ，集合
4a
x
B
{ x | x2
b 2 } 。
（Ⅰ）求 A 和 B；
（Ⅱ）定义 A 与 B 的差集： A
B { x | x
A 且 x B} 。设 a，b，x 均为整数，且 x
A 。
P(E)
为 x 取自 A
B 的概率， P(F ) 为 x 取自 A
B 的概率，写出 a 与 b 的二组值，使 P( E)
2 ，
3
P( F )
1 。
3
（Ⅲ）若函数
f (t)
中， ，
b
是（Ⅱ）中
a
较大的一组，试写出
f ( t) 在区间
[ n
2
,
] 上的最
a
8
n
大值函数 g (n) 的表达式。
参考答案：
1.解析：对于任意的事件
A、B，总有 P( A
B)
P( A)
P( B)
P( A B) ，应用条件便得， P( A B) 0 .
又 P( A)
0 ， P(B )
0 ，所以 P( A
B)
P( A)
P(B) ，从而，应当选 D.
2.C
2 x
y
15
3.解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为
x
、 ，则
x
3 y
27
.
y
0
x
5
0
y
10
作出可行域如图
y
14
8
O
8
12
28
x
（ Ⅰ ）因为，目标函数为 z
x y （x、y 为整数），所以在一组平行直线
x y
t （ t 为参数）中，
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是
x
y 12 ，其经过的整点是（
3，9）和（ 4，8），
它们都是最优解 .
（ Ⅱ ）因为可行域内的整点个数为
8 个，而最优解有两个，所以所求的概率为
P
2
0.25 .
8
答：两种钢板的张数分别为
3、 9
或 4、 8.概率为 0.25
4.解：（ Ⅰ ） p(
k)
C k1
1
k
1
C162
120 .
（ Ⅱ ） P(
8)
1 2 3
7
7 .
120
30
（ Ⅲ ） E
1
2
2
3
15
16
1360
11.3 .
120
120
它的意义是：在
16 个焊点，其中有
2 个不合格的虚焊点，要逐个进行检查，直到查出所有的虚
焊点为止。平均要查焊点
11
到 12 个 .
5.解：旅客甲候车时间的平均值比乙多
.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为
、
分钟，则他们
的分布列为：甲旅客
10
30
50
p
1
1
1
6
2
3
乙旅客
10
30
50
70
90
p
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
6
6
2
6
3
易知
1
1
1
100
1
1
1
1
1
245
E
10
6
30
2
50
3
3
， E
10 2
30
3
50 36
70
12
90
18
9 ，
∴ E
E
，故旅客甲候车时间的平均值比乙多.
6.答案：（ 1） 0.448
（ 2） 0.72
7.解：（ Ⅰ ）由题意得：
a n
2n 1 , bn
1 (n
1)d ，由 S7
14S2 ，得 d
3 .
∴ Tn
1
2n
n(3n
1)
2 n
3 n 2
1 n
1 .
1
2
2
2
2
（ Ⅱ ） a i
2 i 1
，为 1， 2， 4， 8； bk
3k 2 ，为 1，4， 7 ，10,
有序实数对
ai , bk
共有 16 个，
当 a1
1时， bk 取 1 ，4， 7 共 3 个；
当 a2
2 时， bk 取 1， 4， 7 共 3 个；
当 a3
4 时， bk 取 1， 4， 7 共 3 个；
当 a4
8 时， bk 取 1， 4 共 2 个；
满足题意的点共
11 个，所求的概率为
11
.
16
8.解：（ Ⅰ ） x2
5x
6 0 二根为
2， 3
P1
1
P1
1
5 ，P1
1
2
3 .设甲、乙射击
5 次，中靶次数分别为
、 .则 D
5P1 (1
P1 )
∴
或
P2
1
P2
1
4
2
3
2
满足；
D
5P2 (1 P2 )
10
P2
1
P1
1
P2
1
9
，
3 满足 .
∴
2 ，
3 .
（ Ⅱ ） P C 22 ( 1 )2
C21 ( 1 )( 2 ) C22 ( 1) 2 C22 (1 ) 2
C21 ( 1 ) 2 C22 ( 1 )2
7 .
2
3
3
2
3
2
3
36
2
9.答案：（Ⅰ）∵
f (t)
at 2
bt
1
(
t
R
) ，配方得
f (t)
a t
b
1 b
，由 a
0 得最大
4a
2a
4a
值 1 b
0 ∴
. ∴
A { x | a x 0 }
，
B { x | b x b }
.
4a
b 1
（Ⅱ）要使 P ( E )
2
， P ( F )
1 。可以使① A 中有 3
个元素， A B 中有 2 个元素，
A B 中
3
3
有 1 个元素。则 a
4 , b
2 . ②A 中有 6 个元素， A
B 中有 4 个元素，
A B 中有 2 个元素。
a 7 , b 3 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
f (t )
4t
2
2t
1
2
16 (t [ n
8
, n]
4n2
2n
1 ,
(n
2 )
16
8
g(n)
1 ,
(
2
n 0) .
16
8
4n2
1 ,
( n
0)
16