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6.4.3 统计与概率问题综合应用
必备知识精要梳理
离散型随机变量的期望与方差
(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为X的均值或数学期望.
(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·pn叫做随机变量X的方差.
(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).
关键能力学案突破
热点一
离散型随机变量的期望与方差
【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X和Y的分布列分别为:
X
5%
10%
P
0.8
0.2
Y
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);
(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?
[注:D(aX+b)=a2D(X)]
解题心得期望与方差的一般计算步骤
(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;
(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.
【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.
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统计数据及概率在现实决策问题中的应用
【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.
根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|≤1为一级品,1<|x-12|≤2为二级品,|x-12|>2为三级品.
(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x∈[12,15]的部件,再从所有尺寸x∈[12,15]的部件中抽取2件,记ξ为这2个部件中尺寸x∈[14,15]的个数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;
(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,1
解题心得利用均值和方差进行决策的方法
利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值.当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.
(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.
【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多
可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
热点三
统计与概率和函数、导数的综合
【例3】(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5 000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明显”,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0<p<1).
(1)若p=12,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0
(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.
解题心得解决统计与概率和函数、导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决.在转化过程中,对已知条件进行适当的变形、整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题.
【对点训练3】(2020东北师大附中模拟,20)随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论.在可靠性理论中,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有n(n∈N*,n≥2)种电子元件,每种2个,每个元件的可靠性均为p(0<p<1).当某元件不能正常工作时,该元件在电路中将形成断路.现要用这2n个元件组成一个电路系统,有如下两种连接方案可供选择,当且仅当从A到B的电路为通路状态时,系统正常工作.
(1)(ⅰ)分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性P1,P2(用n和p表示);
(ⅱ)比较P1与P2的大小,说明哪种连接方案更稳定可靠;
(2)设n=4,p=45,已知按方案②建立的电路系统可以正常工作,记此时系统中损坏的元件个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望
热点四
统计与概率和数列的综合
【例4】(2020山东青岛二模,22)中国女排,曾经十度成为世界冠军,铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为:扎扎实实,勤学苦练,无所畏惧,顽强拼搏,同甘共苦,团结战斗,刻苦钻研,勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用,给予全国人民巨大的鼓舞.
(1)看过中国女排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学生的身体素质明显提高,将该大学近5个月体重超重的人数进行统计,得到如下表格:
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
若该大学体重超重人数y与月份变量x(月份变量x依次为1,2,3,4,5…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下?
(2)在某次排球训练课上,球恰由A队员控制,此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递,已知每当球由A队员控制时,传给B队员的概率为12,传给C队员的概率为12;每当球由B队员控制时,传给A队员的概率为23,传给C队员的概率为13;每当球由C队员控制时,传给A队员的概率为23,传给B队员的概率为13.记an,bn,cn为经过n次传球后球分别恰由A
(ⅰ)若n=3,记B队员控制球的次数为X,求E(X);
(ⅱ)若an=23bn-1+23cn-1,bn=12an-1+13cn-1,cn=12an-1+13bn-1,n≥
证明:数列an-25为等比数列,并判断经过200次传球后A
附1:回归方程y^=b
b