2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式 一、选择题 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( ) A．31 B．32 C．63 D．64 2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( ) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n) 3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( ) A．－2 B．－1 C． D． 4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( ) A．或5 B．或5 C． D． 5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 6．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是( ) A．0<q<1 B．a7a9<1 C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7 7．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是( ) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 C．n个内切圆的面积和为π D．n个内切圆的面积和为3π 二、填空题 8．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 10．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 11．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________. 12．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；
小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺． 三、解答题 13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn. 14．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列． (1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn. 15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2. (1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn. 参考答案 一、选择题 1．答案：C 解析 ：在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63. 2． 答案：C 解析：∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＝8， ∵ ＝q2＝，∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列． ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)． 3． 答案：B 解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B. 4． 答案：C 解析：设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝. 5． 答案：B 解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381， q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B. 6． 答案：ABC 解析：∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正确；
又a7a9＝a<1，故B正确；
C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确． D中因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确．故选ABC.] 7． 答案：BC 解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC. 二、填空题 8．答案：2n－1－ 解析：由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1， ∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.] 9.答案：6 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.] 10． 答案：6 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵， 令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增， 所以n≥6，即n的最小值为6. 11． 答案：1 121 解析：由于解得 由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1， 所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121. 12． 答案：2 2n－＋1 解析：由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天， 则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋＋(x－2)＝5，解得x＝2，即2天两只老鼠相遇． 由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1， 小老鼠前n天打洞长度为＝2－， 所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 三、解答题 13．解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，从而q＝－. (2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4. 从而Sn＝＝. 14．解： (1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0. ∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4. 又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)， 即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)， ∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2. (2)bn＝＝＝(3n－2)×， ∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×. ① ①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×. ② ①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)× ＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×， ∴Tn＝－×－×＝－×. 15．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0. 由题意得消去x1得3q2－5q－2＝0. 因为q＞0，所以q＝2，x1＝1， 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1. (2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)． 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1， 记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2. ① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1. ② ①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝＋－(2n＋1)×2n－1. 所以Tn＝.