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2020届山东省实验中学（中心校区）高三10月调研考试数学试题
一、单选题
1．集合.，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算出集合、，利用交集的定义可得出集合.
【详解】
，
由于指数函数是增函数，当时，，则，
因此，，故选B.
【点睛】
本题考查集合交集运算，同时也考查了函数的定义域与值域的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将转化为，并利用向量数量积的坐标运算可求出的值.
【详解】
，，且，，解得，
故选：C.
【点睛】
本题考查垂直向量的坐标表示，通常将向量垂直转化为两向量数量积为零，考查计算能力，属于基础题.
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用函数的解析式由内到外计算出的值.
【详解】
，，
因此，，故选D.
【点睛】
本题考查分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.
4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】【详解】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.
【详解】
，故选C.
【点睛】
本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
6．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.
【详解】
为的中点，且为的中点，所以，，
，，.
因此，，故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
7．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】【详解】
由的最小正周期是，得，
即
，
因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．
【考点】函数的图象与性质．
【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
8．中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的内角、、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.
【详解】
设的内角、、的对边分别为、、，
则，，
所以，两个等式相除得，，，
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.
9．定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,若仍是比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：
①；
②；
③；
④
则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，验证是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列的公比为，则.
对于①中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数，不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
对于③中的函数，，该函数为“保等比数列函数”；
对于④中的函数，不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选C.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关对称 B．的图象关于对称
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】A
【解析】研究函数的单调性，对称性即可得出结论．
【详解】
解：因为函数
所以解得函数的定义域为，
，
令，
可知在上单调递增，上单调递减，
且在定义域上单调递增，
由复合函数单调性判断方法：同増异减，可知的增区间为，减区间为，
故，均错误；
因为是偶函数，所以关于轴对称；
故选：．
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性、对称性的应用，属于中档题．
11．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正项等比数列满足，则，即，解出，即可得到当，时的关系式，进而得到结论．
【详解】
解：依题意，正项等比数列满足，
所以，即，
解得或，
因为数列是正项等比数列，
所以，
所以，
又知道，
所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立，因为、为正整数，故等号不成立，
当，时，，
当时，，
当，时，，
故的最小值为
故选：．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，一元二次方程的解法，基本不等式的应用，属于中档题．
12．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.
【详解】
，即，化简得.
由正弦定理边角互化思想得，
即，所以，，
，
，，，，，
是锐角三角形，且，所以，
解得，则，所以，，
因此，的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．设等差数列的前项和为，若，则 ______．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，，可得，解得.
因此，，故答案为.
【点睛】
本题考查等差数列相关量的计算，常利用首项和公差建立方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
14．已知两个非零单位向量、的夹角为.
①不存在，使；
②；
③；
④在方向上的投影为.
则上述结论正确的序号是________（请将所有正确结论都填在横线上）
【答案】①②③
【解析】根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.
【详解】
对于命题①，，命题①正确；
对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；
对于命题③，，
，命题③正确；
对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.
因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.
15．设函数 (为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、用表示，构造函数，利用导数可求出函数的最小值，即为的最小值.
【详解】
设切点坐标为，设曲线在处的切线方程为，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，
即，，，则，
构造函数，则，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
因此，的最小值为，故答案为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、双空题
16．已知函数的部分图象如图所示，则_____，_______.
【答案】
【解析】根据图象得出函数的最小正周期，利用公式求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，可求出的值.
【详解】
由图象可知，函数的最小正周期满足，得，
，，将点代入函数的解析式，
得，，则，
，，，，故答案为，.
【点睛】
本题考查利用图象求函数的解析式，基本步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：根据图象得出最小正周期，可得出；
（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调减区间和对称轴；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算．
（2）由（1）可得，再根据正弦函数的性质求出在区间上的值域，即可得解.
【详解】
解：（1）由题意
．
由，．
整理，可得，．
函数的单调减区间为：，，．
又，解得，
函数的对称轴方程为：，．
（2）．
，
，
．
要使不等式有解，必须．
的取值范围为，．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简，正弦函数的性质，不等式的性质，属于中档题．
18．等比数列的公比，且是、的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题中条件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.
【详解】
（1）由题意可得，即，解得.
因此，数列的通项公式为；
（2），
，
，
上式下式得，
因此，.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.
19．在中，角、、所对的边分别为、、，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；
（2）利用正弦定理得出，，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.
【详解】
（1），，且，
，即，
即，化简得，
，，则，得.
，；
（2）由正弦定理得，则，，
所以，，为锐角，且，，
，，则，
当时，取得最大值.
【点睛】
本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.
20．已知数列中，，，前项和为，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）构造，两式作差得到即可得到即可得证．
（2）利用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）证明：①
令得，
②，
②①得③，
， 在③中可约去得，
即，
又，是以首项为1，公差为1的等差数列．
（2）易得，，
．
【点睛】
本题考查由证明数列为等差数列以及裂项相消法求和，属于中档题.
21．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若在上单调递増，求实数的取值范围；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出函数的导数，解不等式得出，由题意得出，列出不等式组求出实数的取值范围；
（2）由可得对任意的恒成立，然后构造函数，将问题转化为，然后对实数的取值进行分类讨论，确定函数在区间上的最小值，解出不等式可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），
.
解不等式，得.
由于函数在区间上单调递增，则，
所以，解得，因此，实数的取值范围是；
（2）不等式对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则.
，构造函数，则，
当时，，则函数在区间上单调递增，
则.
①当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，，
解得，此时，；
②当时，即当时，则存在，使得，
此时，.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，
即，
即，得，又，所以，，解得，
此时.
构造函数，其中，，此时，函数单调递减，
所以，，即.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，解题时要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，同时注意将函数不等式恒成立问题转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.
22．在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数）.
（1）判断直线与曲线的位置关系：
（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.
【答案】（1）相离；（2）.
【解析】（1）根据曲线的参数方程得知曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，并将直线的方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离，将与圆的半径进行大小比较，可得出直线与曲线的位置关系；
（2）由（1）可知，到直线的距离的最大值为和圆的半径之和，从而得出结果.
【详解】
（1）将直线的参数方程化为普通方程得，
由题意知，曲线是以点为圆心，以为半径长的圆，
则圆心到直线的距离为，因此，直线与曲线相离；
（2）由于直线与圆相离，则圆上任意一点到直线距离的最大值为.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，同时也考查了圆上一点到直线距离的最值，在解决直线与圆的综合问题时，通常计算出圆心到直线的距离，利用几何法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
23．已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，
，再解不等式得解.
【详解】
解：（1）不等式可化为
当时，，，所以无解；
当时，，所以；
当时，，，所以.
综上，不等式的解集是.
（2），
若，恒成立，则，
解得：.
【点睛】
本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.