向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何
一、选择题
1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限
C. 第三卦限
D. 第四卦限 2.方程2
222
=+y x 在空间解析几何中表示的图形为
[ C ]
A. 椭圆
B. 圆
C. 椭圆柱面
D. 圆柱面 3.直线3
1
2141:1+=+=-z y x l 与??
?=-++=-+-0
20
1:2z y x y x l
，的夹角是
[ C ] A.
4
π
B.
3
π C.
2
π
D. 0
4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ]
A. (-1,2,3)
B. (1,-2,3)
C. (-1,-2,3)
D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x
z 42
=绕z 轴旋转一
周，所得旋转曲面方程是[B ]
A. )
(42y x z += B.
2
2
2
4y x z +±=
C. x
z y
422
=+ D. x
z y
422
±=+
6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是
[B ] A.
13
- B.
13
C.
23
-
D. 23
7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ]
A. (-1,2,3)
B. (1,-2,3)
C. (-1,-2,3)
D. (1,2,-3) 8.方程
222
22
x y z a b +=表示的是 [ B ]
A.椭圆抛物面
B.椭圆锥面
C. 椭球面
D. 球面 9. 已知
a ?={0, 3, 4},
b
?={2, 1, -2},则
=
b proj a
?ρ[ C ]
A. 3
B.3
1- C. -1 D.1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A.
222
()a b a b =? B. 222
()a b a b ?=?
C.
22
()()a b a b ?=? D.
2222
()()a b a b a b ?+?=
11．直线1
l 的方程为0
3130290
x y z x y z ++=??
--=?
，直线2
l 的方程为03031300
x y z x y z ++=??
--=?，则1
l 与2
l 的位置关系是 D
A.异面
B.相交
C.平行
D.重合
12．已知A 点与B 点关于XOY 平面对称，B 点与C 点关于Z 轴对称，那么A 点与C 点是 C
A.关于XOZ 平面对称
B.关于YOZ 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
13．已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称，B 点与C 点关于X 轴对称，那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于
XOY 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A.2221
x y z ++= B.
221
x y z ++= C.
21
x y z ++=
D.2
21
x y
z ++=
15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C
A.2
a a a = B. 2()a a
b a b
??= C.
2
()a b b ab ??= D.
22
2
()a b a b =?
16．已知向量(1,2,1)a =，(3,4,3)b =--，那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20 B.
C.10
D.
17．已知直线l 方程230
3450
x y z x y z ++=??
++=?
与平面π方程20
x z -++=，那么l 与π的位置关系是C
A. l 在π内
B. l 垂直于π
C. l
平行于π D.不能确定
18．两向量,a b 所在直线夹角4π，0ab <，那么下列说法正确的是 B
A.
,a b
夹角4
π B. ,a b
夹角34π
C.
,a b
夹角可能
34
π或4
π D.以上都不对 19.已知||1=a
，||=b ?(,)4
π=a b ，则||+=a b （D ）. (A) 1
(B) 1+ (C) 2
(D)
20.设有直线3210
:21030
x y z L x y z +++=??
--+=?
及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）。
(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交 21.双曲线
22
1450x z y ?-=???=?
绕z 轴旋转而成的旋转曲面的
方程为（ A ）. (A) 222
145
x y z +-= (B) 222
145
x y z +-= (C)
22
()145x y z +-= (D)
22
()145
x y z +-=
22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是（ D ）. (A)
(,,)
a b c --- (B)
(,,)
a b c -- (C)
(,,)
a b c - (D)
(,,)
a b c --
23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ，则()Prj =b
a （A ）. (A) 2 (B)
2
-
(C)
(D)
24.2
21
x
y -=在空间表示 （ D ）.
(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面
25.设a 与b 为非零向量，则?=a b 0是（ C ）. (A) =a b
的充要条件 (B) ⊥a b
的充要条件
(C)
//a b
的充要条件 (D)
//a b
的
必要但不充分条件
26．设平面方程为0Ax Cz D ++=，其中,,A C D 均不为零，则平面（ B ）.
(A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴
27． 已知等边三角形ABC ?的边长为1，且
BC =a
u u u v ，
CA =b
u u u v
，
AB =c
u u u v ，则?+?+?=a b b c c a （ D ）.
(A) 1
2
(B) 32
(C)
12
- (D)
32
-
28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )
(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)
29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )
(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C)
平行于
YOZ
平面
(D) 垂直于Z 轴
30.点A(-2，3，1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)
(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)
31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C ) (A)
???
??
=-=z
y z x 24 (B)
???
?
?
=--=-0
342x z y
(C)
1
4
322-=-=-z y x (D)
4)2(32=-+-+-z y x
32．二个平面14
z
3y 2x =++和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ）
（A ）相交但不垂直 （B ）重
合
（C.）平行但不重合 （D.）垂直
33. 过点(2，0，-3)且与直线??
?=+-+=-+-0
12530742z y x z y x 垂直的
平面方程是( A )
(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x
(B) 0
)3(4)0(2)2(=++---z y x (C) 0
)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x (D)
)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x
34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,，则α的方向余弦中的βcos =( A )
(A)
c
b a b
222++ (B)
c
b a b
++ (C)
c
b a b
++± (D)
c
b a b
222++±
35. 已知曲面方程
2
2
22b
y a x z +-= （马鞍面），这曲面
与平面 h z = 相截，其截痕是空间中的（ B ） A. 抛物线； B. 双曲线； C. 椭圆； D. 直线。
36. 点(3，1，2)关于XOZ 平面的对称点是( B )
(A)
(-3
，
1
，
2)
(B) (3，-1，2)
(C) (3，1，-2)
(D) (-3，-1，2) 37. 曲线
??
?==-0
369422z y x 绕X 轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )
(A) ()36
94222=-+y z x (B)
()()
36
942222=+-+z y z x
(C)
()
36
94222=+-z y x (D) 36
9422=-y x
38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )
(A)
22
=+y x (B)
4
22
=+y x
(C) 0
422
=++y x (D)
4
2
22=++z y x
39. 球面k z y x
2
222
=++与a z x =+的交线在XOY 平面
上的投影曲线方程是( D ) (A)
()k z y z a 2
222
=++- (B)
()?????==++-0
2222
z k z y z a
(C)
()k
x a y x 2
2
22
=-++ (D)
()??
?==-++0
2222z k x a y x
40. 向量α={}A A A z
Y
x
,,、β={}
B B B
Z Y X
,,垂直的充分必
要条件是( A )
(A) α·β=0 (B) α×β=0 (C)
B A B A B A z
z y y x x == (D) α-β=0
二、填空题
1. ,7,4,3=+==b a b a ρ
ρρρ 则 =
-b a ρρ 1
2. 有曲面方程
z q
y p x 22
2=+，当pq<0时, 方程表示
的曲面称为双曲抛物面 3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0
162222222z y x z y x 的柱
面方程是16322=-z y
4. 已知a ?,b ?
,c ?都是单位向量，且满足a ?+b ?
+c ?
=0, 则
=
?+?+?a c c b b a ??????
2
3
-
5、XOZ 平面内曲线2
x z
=绕X 轴旋转，所得曲面
方程为 4
2
2
x y z =+
6．已知向量
(1,2,3)
OA =u u u r
，向量(2,3,4)
OB =u u u r
，那么三角形
OAB
的面积是
2
7、已知平面1
:230x y z π+++=与2
:310
x y z π
-+-+=
，则其夹
角为
arccos
33
8．点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为
522(,,)333
-
9.设有直线1
158
:121x y z L --+==-与2
6:23
x y L y z -=??
+=?
，则1L 与2
L 的夹角为3
π 10．已知||2=a ，||2=b ，?3
(,)π
=a b ，则23=-u a b 的模||=u
11. 已知向量 k j i a ++=23 与 j i b 32-=，则 =?)3()2(b a
0 ； =? 3213i j k +-r r r
12、平面x+2y-z+3=0和空间直线1
2
1131-=
-+=-z y x 的位置关系是 直线在平面上
13. 过点（2，-3，6）且与Y 轴垂直的平面为
3
-=y ，此点关于XOY 平面的对称
点是 ()6,3,2-- ，它与原点的距离为 7 三：计算与证明
1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线1
2354z
y x =+=-的平面方程
解：设N(4, -3, 0),
)
1,2,5(=s ρ
, 由已知，
)
2,4,1(-=是所求平面内的向量
又设所求平面的法向量是n ρ
，取s n
ρρ?=，
即：
k
j i k
j i n ρρρρρρρ
22981
25241++-=-=
故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即：－8x+9y+22z+59=0
2.求与直线1L ：13523z
y x =-=+相交且与直线2L ：1
47510z
y x =+=-相交, 与直线3L ： 1
3
7182-=
-=+z y x 平行的直线方程
解：将1L ，2L 分别化为参数方程：
??
?
??=+=-=t z t y t x 533
2， ??
?
??=-=+=λλλz y x 74105
对于某个t 及λ值, 各得1L ，2L 上的一点,分别记为t M ,λM
则
向量
λ
M M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j +(t-λ)k
=（2t-5
λ
-13）
i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k
令向量λM M t 平行于3L ， 即有
1
-t 712+ 4-3t 813- 5-2t λ
λλ== 解得 t=225- ，于是t M （-28，265-, 2
25
-）
故 所求直线为：1
225
z 7265y 828x +=+
=
+
3.直线L 过点M(2, 6，3), 平行于平面
π
:x-2y+3z-5=0且与直线1L :2
6
8252-=--=--z y x 相交, 求L 的方程
解：过点M 平行于
π
的平面方程为
(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0
即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:
x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1
所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点
故: L 的方程为
3
-43
-z 6-106-y 2-72x ==-
即：1
3-z 46-y 52x =
=- 4．求过直线1211x y z -==-，且平行于直线1
212
x y z +==-的平面方程。
解：设平面法向量(,,)a b c ，则有方程
20220
a b c a b c +-=??
+-=?
解得0
20
c a b =??
+=?
,于是可取法向量(1,2,0)-
所以平面方程为(1)20x y --+=
5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量，c a b λμ=+为已知非零向量，求,λμ 解：方程两边同与,a b 作数量积得
2
2a c a a b b c a b b λμλμ?=+??=+??
g g g g ，解
此两元一次方程组，得2
2
2
ac ab
bc
b a
ab
ab b λ=
， 22
2
a ac
ab bc a ab ab b μ=
。
6.求直线210
:2220
x y z l x y z +++=??
--+=?
在平面330x y z --+=上的投影 解：设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=
其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--，于是由题意有
3(2)(2)(2)0
λμλμλμ+----=，即470λμ+=
取7,4λμ=-=。直线方程为330
10151510
x y z x y z --+=??
---+=?
7.求原点到直线
2340:23450
x y z l x y z +++=??
+++=?的垂线与垂足，垂
线要求参数方程。
解：设π为过原点且垂直于l 的平面，则π的一个法向量与l 的方向一致。
l 的方向：2
33112(,,)(1,2,1)3
44223
=--。
π的方程20x y z -+-=
将其与l 方程联立，解得垂足坐标214(,,)333
--
于是垂线参数方程
231343x t y t z t ?=??
?=-?
?
?=-??
.
8．已知直线一般方程为2340
46510
x y z x y z --+=??
-+-=?
，求其点向式方程。
解：两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---，故直线方向为
311223
(
,,)(21,14,0)
655446----=----
令
3400,6510
y z x y z --+=?=?
-+-=?，得直线上一点199
(0,,)217
故点向式方程为919
72121140
z y x -
-
==--
9.在直线
1
:0
x y z l x z +-=??
-=?上求一点A ，使得它与原点所
决定的直线与l 的夹角为
arccos
3
解：直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--
设直线上一点(,1,)A x x ，则(,1,)
OA x x =u u u r
，据
=
1x =±。
故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。
10.证明：直线1
213:326
x y z l -+-==-及直线221
:2
x y l y z +=??
+=-?共面。
证明：2
l 的方向向量2
{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}(2)=?=-n
分，1
l 的
方向向量
1{3,2,6}(2)
=-n 分。点
12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},
A l
B l AB =-∈=-∈=--u u u v
由于这三个向量两
两不平行，且
12326
()2
110(4)1
1
5
AB -??=-=--n n u u u v
分，
所以1
l 与2
l 共面(因为由上式知2,,AB
1n n u u u v 三向量共
面)。
证法2：1
l 与2l 有交点：(1,1,3)M --，故1l 与2
l 共面。
11.求通过直线1121:211
x y z l ++-==
-及直线
221
:2
x y l y z +=??
+=-?的平
面方程。
解：
2
l 的方向向量为2
1
{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ，所以1
l 与
2
l 平行(3)分。 点1
1(1,2,1),
M
l =--∈且易知2
2
(1,0,2)M
l =-∈，2
M 不在直线1
l
上(2)分。故所求平面就是两相交直线1
l 与12
M M u u u u u u v
确
定的平面。它的法向量可取为
12
121186(3).2
2
3
M M =?=-=++-i j k
n n n i j k u u u u u u u v 分
又1
(1,2,1)
M =--为已知平面上的点，所求平面的点
法式方程为
(1)8(2)6(1)0
x y z ++++-=，即86110(2)x y z +++=分。
12． 已知ABC
?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k
u u u v u u u v
，求ABC ?的面积。
解：11||||(2),22
ABC
S
BA BC AB BC ?=?=?u u
u v u u u v u u u v u u u v 分
而21135(2),
32
1
AB BC ?=-=-+i j k
i j k u u u v u u u v
分
所以
||AB BC ?=u u u v u u u v
(2)ABC
S
?=
分.
13.求直线2
24
x z y z =+??
=-?
在平面0x y z +-=上的投影方程。 解：过直线2
24
x z y z =+??
=-?
的平面束方程为 :2(24)0(2)
x z y z λπλ--+-+=分.
在λ
π中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有
{1,,12}{1,1,1}0(2)λλ--?-=分，
即21120,3λλλ+++==-。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为
32140(2).x y z -+-=分
从而直线在平面上的投影即为
32140
(2)0x y z x y z -+-=??
+-=?
分.
14. 求过直线
??
?=---=+-0
9230
42z y x z y x 且垂直于平面
4x-y+z-1=0的平面方程。
解 设所求的平面的法向量为{A ，B ，C}，已知直线的方向数为{m,n,p}
则
??
?=--=+-0
23042p n m p n m 有 ???
???
?==71079n p n m 方向数为{9，7，
10}(2分)
又因??
?=+-=++0
40
1079C B A C B A 有???
???
?-=-=37313717C B C A 法向量为{17，31，
-37}(3分)
直线上有点（0，-1，-4） 平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0 15．求过点(3，1，-2)且过直线1
2354z
y x =+=-的平
面方程。
取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A ，B ，C}
两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）
有??
?=++=-+0
250
64C B A C B A 得???
???
?=-=92298B C B A 则法向量为{-8，9，
22}（2分）
平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0（2分）
16、一平面过点M （-1，1，2）与z 轴，求该平面方程。 解：
112,(3)0(3)
1
i j k
n i j x y =-=++=v v v v v v
分所求平面方程为：分